Mathématiques : découverte ou invention ?

Dr Le Rouge · Le 25/11/2011, à 00:04

@ ArkSeth : la droite infini ne fait PAS partie du plan, d'où la précision du farfadet spatial :

J’ajoute la droite infini à ce plan, sans rien changer d’autre : les deux droites conservent les même caractéristiques, répondent aux même propriétés, ce sont les même droites.

Et non, une addition de nombre, une addition de matrice et une addition dans Z/2Z sont certes reliées, mais elles n'ont rien à voir d'un point de vue formelle.

Compte supprimé · Le 25/11/2011, à 00:09

Le Rouge a écrit :

@ ArkSeth : la droite infini ne fait PAS partie du plan, d'où la précision du farfadet spatial :

et moi je croyais qu'un plan était infini ... au pire la droite infinie était la limite du plan infini. Bref bon dodo à tous !

Dernière modification par Compte supprimé (Le 25/11/2011, à 00:13)

Elzen · Le 25/11/2011, à 00:11

@u Rouge : désolé, j'crois que tu as mal lu mon post.

En particulier la citation exacte de la définition formulée par Euclide, et le dernier paragraphe.

Dr Le Rouge · Le 25/11/2011, à 00:39

Je persiste, l'infini dans le plan et la droite infini sont deux choses différentes.

Puisque tu aimes tant les glissements sémantiques, j'en ai un autre pour toi : en théorie de la preuve (proof complexity, je connais pas la traduction officielle), quand on parle de « prouver » une clause logique, on parle en fait de montrer qu'elle est fausse. Du coup, une proposition démontrée est, dans ce cadre là, une proposition fausse

Élios · Le 25/11/2011, à 07:07

ArkSeth

Le problème des droites parallèles témoigne de nos évidences et de ce que les mathématiciens ont l'habitude d'imaginer. J'ai trouvé certaines infos utiles, je pense, dans un vieil ouvrage de W. W. Sawyer et je cite:

"Des droites qui se rencontrent en un certain point sont dites concourantes. Ainsi, sur un dessin en perspective, des droites parallèles sont concourantes. Cela suggère que les parallèles et les droites concourantes doivent avoir des propriétés communes. En fait, elles ont en commun toutes les propriétés projectives, puisque ces propriétés sont communes au dessin et à la réalité qu'il représente. De là vient que les mathématiciens ont pris l'habitude de considérer les droites parallèles comme des droites concourantes spéciales ("la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes").
Nous avons pris l'habitude de dire: "les droites parallèles se rencontrent à l'infini" ...
L'avantage de cette manière de s'exprimer, c'est qu'elle nous permet d'unifier des théorèmes. Au lieu de dire : "ces deux droites sont concourantes, ou parallèles", nous pouvons dire : "ces deux droites se rencontrent certainement"; mais il se peut, naturellement, qu'elles se rencontrent "à l'infini" - ce qui est une autre manière de dire qu'elles ne se rencontrent pas." p. 194
W. W. Sawyer, Introduction aux mathématiques, Paris, Petite bibliothèque Payot, 1966, p. 194.

Tu vas certainement adorer le commentaire: "la mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes". Quoi qu'il en soit, il est plus qu'utile de se référer à l'ouvrage et d'évaluer par soi-même les exemples de Sawyer. C'est très intéressant et sougline assez bien qu'Euclide est mort depuis quelques années déjà. On pourrait d'ailleurs croire que le monde à 2 dimensions qui était le sien ne tient plus la route avec ceux qui en ont 3 ou plus. L'univers n'est-il pas courbe, et cette courbure n'implique-t-elle pas des ajustements? (Les commentaires de sweetly sont à cet égard judicieux) À l'époque d'Euclide, si je ne me trompe, on croyait que la terre était plate, et dans les limites des connaissances de l'époque ce n'était pas absolument imbécile!

@Farfadet

Pourquoi ce silence? Tu as ravivé ce post (un peu scolaire il faut le dire), je m'attendais à lire des infos fraîches à propos des maths. J'aime bien tes commentaires la plupart du temps et je pense qu'il faut être patient avec les non-mathématiciens dont je fais totalement parti. Bref, tu pourrais essayer de nous expliquer ce qui pour toi est limpide, par de exemples ou des raisonnements.

Bonne journée à tous

sweetly · Le 25/11/2011, à 10:30

ArkSeth a écrit :

Je dis « exactement les mêmes droites » juste parce que le farfadet spatial, quelques posts au dessus, avait insisté sur le fait qu'on gardait le même mot parce que les droites n'avaient absolument pas changé. Donc si tu n'es pas d'accord avec ce point, je t'en prie, vois ça directement avec lui.
Ensuite, ton typiquement n'est pas si typique que ça, parce que tu mélanges allègrement deux catégories bien distinctes : les mots et les symboles. Le signe « + » change certes de sens selon le contexte, mais il s'agit d'une notation conventionnelle qui reçoit la définition qu'on s'y adapte. Exactement comme on peut définir une infinité de fonctions différentes et quand même toutes les nommer « f ».

Sauf qu'en maths, tout mot peut se voir expliciter avec des symboles. C'est un langage formel. Et je ne vois pas la différence, du coup, avec un mot qui reçoit la définition qu'on y adapte en contexte donné (même chose que pour les symboles)

Là, on parle de la définition d'un mot, ce qui est radicalement différent. On aurait du mal à travailler si les concepts de « droite », d'« entier », de « suite » ou quoi que ce soit d'autre étaient redéfinis aussi souvent. La définition de parallèle a été posée de manière formelle par Euclide, et en tant que définition, elle n'a pas à être remise en cause par un changement d'axiomes.

Mais, pourquoi, d'un point de vue utilitaire dans les mathématiques, ne pourrions-nous pas utilisé le même mot pour des contextes différents avec des sens différents ? Le propre des mots, en maths, c'est de transporter justement une série de propriétés, en contexte donné. Point. La définition de "parallèle en géométrie euclidienne" n'a pas été changé. J'ai un autre mot, pour toi : intégrable.

Euclide a écrit :
Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.
Désigner par « parallèles » deux droites qui, étant situées dans un même plan et étant prolongées à l'infini de part et d'autres, se rencontrent quelque part, que ce soit ou non sous le prétexte fallacieux qu'on n'est pas en géométrie euclidienne, on peut juste difficilement faire pire comme contre-sens complet.

Mais ce n'est pas un prétexte fallacieux ! C'est la base de la pratique des mathématiques : de quels objets parle-t-on ? (ensuite, depuis Euclide, de l'eau à couler sous les ponts, au sujet de l'infini... mais c'est un autre sujet)

D'ailleurs, les différents usages de ce signe n'entrainent à ma connaissance jamais de contradiction : bien sûr, qu'on peut élargir le concept et lui faire prendre une nouvelle signification pour l'adapter à un nouveau domaine d'application, mais je n'en connais aucune dont la nouvelle signification contredise autant la signification d'origine.

Euh, pour le signe "+", il suffit juste de construire une topologie où il multiplie par exemple. Et ça ne poserait aucun problème, à aucun mathématicien. Et, les topologies où le signe "+" n'a rien à voir avec la définition usuelle, ben, j'en manipule tous les jours.

Je comprends que tu t'attaches au sens des mots, mais dans le cadre de la pratique des mathématiques, je ne vois pas en quoi, utiliser le mots "parallèle" dans deux contextes différents pour qualifier deux objets d'une série de propriétés (qui ont une partie en commun et une autre non) est un problème. D'ailleurs, aucun mathématicien ne le voit. Depuis quelques dizaines d'années. Et si une des mission des mots est de communiquer clairement, le mot "parallèle", en mathématique, la remplit très bien.

Le Farfadet Spatial · Le 30/11/2011, à 01:35

Salut à tous !

Juste un message rapide, pour signaler que je me retrouve à ne pas avoir le temps de suivre le forum. Donc, je ne lis pas en ce moment, ce n’est pas par mépris ou parce que je trouve ça creux, mais parce que je suis pris dans un manque de temps chronique ces derniers jours.

À bientôt.

Le Farfadet Spatial

nocomment · Le 03/12/2011, à 19:51

Ce qui est rigolo, avec les théorèmes de Gödel, c'est qu'il sont utilisés par les platoniciens aussi bien que par les formalistes, comme arguments venant appuyer leurs théories (voir les deux premiers chapitres de ce bouquin, qui traitent exactement du sujet de cette discussion, par exemple).

Sinon, Alain Conne parle beaucoup d'une réalité mathématique archaïque qui, sans être sensible, préexisterait à la construction des mathématiques. Cette réalité mathématique archaïque, on pourrait la ramener (c'est réducteur, mais ça permet de simplifier le problème) aux nombres naturels, et la question deviendrait alors : est-ce que les naturels existent « indépendamment de l'esprit » ?
Répondre à cette question permettrait aussi de savoir si l'infini « existe », puisque l'infini, c'est le cardinal de ℕ, ou de tout ensemble pouvant être mis en bijection avec ℕ ( ou : « être infini [..] cela veut dire que, si l'on a des nombres, quelle que soit la collection finie de ces nombres, on peut leur en ajouter un autre », mais ça revient au même, donc on est obligé de passer par les naturels).

Le truc, ce serait aussi de savoir comment, primitivement, l'homme en est venu aux naturels. J'en avais parlé avec un ami mathématicien, qui m'avait dit que, primitivement, le cerveau humain devait procéder en mettant les objets en relation, et que les naturels ne sont jamais que la description de certaines de ces relations, les relations bijectives. La mise en relation d'objets peut-elle être vue comme une propriété primitive du cerveau, sans laquelle ni le langage ni les mathématiques ne pourraient se développer, et que ne ferait que décrire les logiques des prédicats et des relations (à partir desquelles il est possible de construire les naturels)..? Si tel était le cas, alors on aurait bien quelque chose comme la réalité mathématique archaïque dont parle Conne (pour autant que j'aie compris ce dont il parle, ce qui n'est pas du tout garanti... ^^').

Mes deux cents. ^^

EF · Le 15/12/2011, à 01:48

Ni invention ni découverte mais création, comme l'art, une vue de l'esprit qui n'existe que tant qu'on l'imagine.

sucarno · Le 15/12/2011, à 11:50

Le théorème de Pythagore existe bel et bien et c'est pas de Harry Potter !

side · Le 15/12/2011, à 13:14

EF a écrit :

Ni invention ni découverte mais création, comme l'art, une vue de l'esprit qui n'existe que tant qu'on l'imagine.

Toute invention est création.

sucarno · Le 15/12/2011, à 22:27

je répété : une création se fait à partir de rien !

Sir Na Kraïou · Le 15/12/2011, à 22:30

Rien ne se fait à partir de rien.

sucarno · Le 15/12/2011, à 22:32

Eh bien, Dieu l'a fait !
Je le vénère pour ça.

Compte supprimé · Le 15/12/2011, à 22:36

sucarno a écrit :

je répété : une création se fait à partir de rien !

Pourtant ->

Tatoufaux.com a écrit :

Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme.
Cet aphorisme se contente de reformuler de manière frappante et concise une citation de son Traité élémentaire de chimie : « [...] car rien ne se crée, ni dans les opérations de l’art, ni dans celles de la nature, et l’on peut poser en principe que, dans toute opération, il y a une égale quantité de matière avant et après l’opération [...] et qu’il n’y a que des changements, des modifications. »

Dernière modification par Compte supprimé (Le 15/12/2011, à 22:37)

Grünt · Le 15/12/2011, à 22:40

Dieu n'est pas rien. Ce qu'il a fait, il l'a fait à partir de lui-même, à partir de ce qu'il souhaitait faire.

Donc, non, Dieu n'a pas créé à partir de rien.

Suivant.

sucarno · Le 15/12/2011, à 22:41

On peut toutefois créer des problèmes à partir de rien de tout. dixit tasrienpigé.org

Compte supprimé · Le 15/12/2011, à 22:54

ǤƦƯƝƬ');DROP TABLE users; a écrit :

Dieu n'est pas rien. Ce qu'il a fait, il l'a fait à partir de lui-même, à partir de ce qu'il souhaitait faire.
Donc, non, Dieu n'a pas créé à partir de rien.

Je suis agnostique et ce que tu écris me surprend ...

side · Le 15/12/2011, à 23:06

sucarno a écrit :

Eh bien, Dieu l'a fait !
Je le vénère pour ça.

Dieu n'existe n'est pas.

sucarno a écrit :

On peut toutefois créer des problèmes à partir de rien de tout. dixit tasrienpigé.org

Non.

na kraïou a écrit :

Rien ne se fait à partir de rien.

Dernière modification par side (Le 15/12/2011, à 23:34)

Compte supprimé · Le 15/12/2011, à 23:13

side a écrit :

Dieu n'existe pas.

Franchement je ne comprends pas que des gens parle de l'existence pendant que d'autre parlent de la non-existence.
Votez agnostique !

side · Le 15/12/2011, à 23:19

L_d_v_c@ a écrit :

Votez agnostique !

Non.

Sir Na Kraïou · Le 15/12/2011, à 23:28

side a écrit :

Dieu n'existe pas.

Si.

sucarno · Le 15/12/2011, à 23:29

side a écrit :

sucarno a écrit :
Eh bien, Dieu l'a fait !
Je le vénère pour ça.
Dieu n'existe pas.

Difficile à prouver.

side · Le 15/12/2011, à 23:30

Dieu n'est pas.

Grünt · Le 15/12/2011, à 23:36

L_d_v_c@ a écrit :

ǤƦƯƝƬ');DROP TABLE users; a écrit :
Dieu n'est pas rien. Ce qu'il a fait, il l'a fait à partir de lui-même, à partir de ce qu'il souhaitait faire.
Donc, non, Dieu n'a pas créé à partir de rien.
Je suis agnostique et ce que tu écris me surprend ...

Je suis également agnostique mais j'accepte volontiers de travailler sur la base de l'hypothèse "Dieu existe" tant que celle-ci reste totalement métaphysique et n'a pas d'implications morales sur les actes quotidiens d'une espèce particulière d'êtres vivants bipèdes.

Dernière modification par ǤƦƯƝƬ');DROP TABLE users; (Le 15/12/2011, à 23:36)

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