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#1 Le 16/09/2014, à 20:07

couim

[Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonsoir à tous,

Alors comme nous sommes une communauté de ubuntu users, je décide aujourd'hui de poser un petit problème de maths dans le cadre de mes études en informatique ! En espérant que l'entre aide ne se fait pas que sur logiciel mais aussi en IRL big_smile wink

Alors voilà l’exercice :

Déterminer les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant a+b = 171 et PPCM(a,b) = 1716

J'ai plusieurs pistes de départ notamment avec les propriétés suivantes :
Notons d = PGCD(a,b) avec a et b, on sait qu'il existe x et y, entiers premiers entre eux tel que a = dx et b = dy

Ainsi,
a + b = 171
donc
dx + dy = 171
puis
d(x+y) = 171

DONC on conclu que d peut diviser 171 et aussi le PPCM je présume...


C'est donc là que je bloque, si jamais quelqu'un à la solution, ou alors une simple piste, je le remercie d'avance !

Dernière modification par couim (Le 18/09/2014, à 21:22)


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#2 Le 16/09/2014, à 20:19

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonsoir à tous,

Alors comme nous sommes une communauté de ubuntu users, je décide aujourd'hui de poser un petit problème de maths dans le cadre de mes études en informatique ! En espérant que l'entre aide ne se fait pas que sur logiciel mais aussi en IRL big_smile wink

Alors voilà l’exercice :

Déterminer les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant a+b = 171 et PPCM(a,b) = 1716

J'ai plusieurs pistes de départ notamment avec les propriétés suivantes :
Notons d = PGCD(a,b) avec a et b, on sait qu'il existe x et y, entiers premiers entre eux tel que a = dx et b = dy

Ainsi,
a + b = 171
donc
dx + dy = 171
puis
d(x+y) = 171

DONC on conclu que d peut diviser 171 et aussi le PPCM je présume...


C'est donc là que je bloque, si jamais quelqu'un à la solution, ou alors une simple piste, je le remercie d'avance !

Dernière modification par couim (Le 18/09/2014, à 04:24)


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#3 Le 16/09/2014, à 21:26

sucarno

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

tu peux ajouter :

PPCM(a,b)*PGCD(a,b)=a*b.


« Les tyrans ne sont grands que parce que nous sommes à genoux ». Étienne de La Boétie

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#4 Le 16/09/2014, à 22:03

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

alors effectivement on connaît le PPCM donc on peut poser :

PPCM(a,b)*PGCD(a,b) = a*b
1716*PGCD(a,b) = a*b

Et en autre écriture avec PGCD(a,b) = d :
1716 = (a*b)/d

Mais donc j'arrive toujours pas à effectuer un lien entre ceci et le calcul du PGCD ? On a tout ce dont on a besoins si l'on veut le PGCD ? ou a*b ?

merci en tout cas de la réponse.


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#5 Le 17/09/2014, à 00:57

melixgaro

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

salut,

merci pour le problème, ça me rajeunit !

je crois que dans ce genre d'exercice, il n'y a pas mille façons de s'en sortir : au bout d'un moment, il faut faire une étude de cas.
Ci-dessous une solution partielle...

Soient a et be tels que a+b = 171 (I) et PPCM(a, b) = 1716 (II).

On note d = PGCD(a, b). 
Il existe x et y, entiers premiers entre eux tels que a = dx (III) et b = dy (IV).

En injectant (III) et (IV) dans (I), on a :
d(x+y)=171

Or 171 = 3 * 3 * 19.

Donc on a les cas suivants :

d = 3 ; x + y = 57
d = 9 ; x + y = 19
d = 19 ; x + y = 9
d = 57 ; x + y = 3

Par ailleurs, PGCD(a, b) * PPCM(a, b) = a * b. D'où en utilisant les équations (I) à (IV) :

d  * 1716 = d^2 * xy, soit dxy = 1716.

Or 1716 = 2 * 2 * 3 * 11 * 13. D'où la seule valeur possible pour d est 3.

Donc x + y = 57 et xy = 572.

Ces deux équations permettent d'écrire une équation du 2nd degré en x ou en y. Et la résolution permet de trouver les couples (x, y) solutions. On en déduit les couples (a, b) solutions. Je trouve (a, b) = (132, 39) ou (a, b) = (39, 132).

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#6 Le 17/09/2014, à 06:01

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonjour melixgaro!

Merci pour votre réponse j'essaie tout à l'heure! Mais effectivement l'idée d'utiliser des nombres premiers pour décomposer un chiffre me paraît être la solution attendue pour l'exercice!

Merci smile à plus tard


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#7 Le 17/09/2014, à 17:19

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Alors j'ai essayé et cela fonctionne, je comprend parfaitement le raisonnement

On voit que le pgcd (a,b) divise 1716 et aussi 171.
a partir de ça, on détermine d (le pgcd)

on trouve 3.

Seulement je comprends pas le d^2 qui est mis, dans l'équation ?


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#8 Le 17/09/2014, à 17:22

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Auto-critique : c'est bon j'ai compris pour le d² en fait c'est comme dire

pgcd*ppcm = ab
donc
pgcd*ppcm = dx * dy = d²xy !

Merci en tout cas pour votre réponse ! ça fait plaisir smile


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#9 Le 17/09/2014, à 17:35

melixgaro

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

oki !
c'est surtout moi qui me suis fait plaisir hier soir en refaisant de l'algèbre (si, si) ! big_smile big_smile
donc merci à toi !

Dernière modification par melixgaro (Le 17/09/2014, à 17:37)


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#10 Le 17/09/2014, à 17:37

melixgaro

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

désolé, je viens de voir que tu me vouvoies alors que je te tutoies. n'y vois pas de l'impolitesse, il m'est presque impossible de vouvoyer sur le net. n'hésite pas à me tutoyer également wink


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#11 Le 17/09/2014, à 22:39

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonjour à tous !

Alors je me place dans le café pour poser cette question de maths (oui étude en informatique oblige)

Alors j'avais un énoncé et je voulais savoir si j'avais juste en gros smile

Exo :
soit a = 1512 et b = 540
1)Déterminer PPCM de de a et b
2)Déterminer les multiples positifs communs à a et b inférieurs ou égaux à 40 000

donc pour la 1) j'ai fait la décomposition en nombre premiers avec donc
1512 = 2*2*2*7*27
540   = 2*2*3*3*3*5

PGCD (a,b) = 2*2 = 4;     PPCM(a,b)=4(5*27*7*2) = 7560

----------------------

2)
là en gros d'après ce que je peux dire c'est que on sait que
PGCD (ka,kb) = kPGCD(a,b)
donc je me suis dit que ce serait pareil avec le PPCM vu que le PGCD divise le PPCM.

Donc j'ai posé :
kPPCM(a,b) < 40 000
et en cherchant k, au minimum il doit faire 5 car sinon 6*PGCD(a,b) > 40000

Donc en gros je voulais savoir si la réponse à la 2) c'était bien 5 ou si j'avais oublié un petit truc smile merci d'avance !

Dernière modification par couim (Le 18/09/2014, à 14:01)


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#12 Le 18/09/2014, à 00:43

ssdg

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

En fait, je m’aperçoit que ma première démonstration était très brouillon... Aussi, je supprime.

d= PGCD (A,B)
A+B= d(x+y)
PPCM(A,B)=d*x*y ( http://uel.unisciel.fr/mathematiques/ar … h3_05.html )

A+B=1*3*3*19
PPCM(A,B)=1*2*2*3*11*13
Les nombres qui peuvent diviser les deux sont 1 et 3 (en vrai: 1, 3 et 1*3)

Je ne suis pas sur de pourquoi, mais j'imagine qu'on peut en déduire que d=3 (imaginons que les maths se plient à ma conviction infondée)

Ensuite, on obtient à partir de l'équation ppcm=dxy et de l'autre équation d(x+y)=171 on obtient deux équations à deux inconnues. On peut les résoudre en faisant rentrer une identité remarquable, une racine (ne pas oublier que racine de quelque chose qui vaut x² peut être x et -x ) et on obtient des résultats. (que j'ai calculés et vérifiés)

Ce que je ne m'explique pas c'est pourquoi je suis convaincu qu'il est logique que d=3
Je ne m'explique pas non plus pourquoi on couvre/couvrirait tout les cas avec cette méthode.


s'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème... ou pas.

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#13 Le 18/09/2014, à 04:24

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonjour!
Merci pour votre réponse
J'ai finalement trouvé le résultat hier et c'est bien comme cela qu'il faut faire

Merci en tout cas de m'avoir aidé

A bientôt smile


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#14 Le 18/09/2014, à 10:22

Nasman

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

1512=2*2*2*3*3*3*7 (27 est le cube de 3)
540=2*2*3*3*3*5

PGCD = 2*2*3*3*3= 108


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#15 Le 18/09/2014, à 11:05

Clémentv

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

et en cherchant k, au maximum il doit faire 5 car sinon 6*PPCM(a,b) > 40000

Quelques petites erreurs sur cette ligne, mais tu as bien compris l'idée : les multiples communs sont les multiples du PPCM.

Dernière modification par Clémentv (Le 18/09/2014, à 11:07)

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#16 Le 18/09/2014, à 11:10

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonjour, 
Effectivement le pgcd vaut 108... autant pour moi.

Oui clementv smile effectivement je vais essayer de trouver tous les multiples communs puisque c'est ça la question. Merci pour ton indication


Je vous tiens au courant!


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#17 Le 18/09/2014, à 12:06

ssdg

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Et du coup, pour le fait que d= PGCD et pas juste n'importe quel commun diviseur (1 par exemple)

Au delà du fait que ça devient plus compliqué, qu'est-ce qui prouve qu'il ne peut pas y avoir d'autres valeurs? ( une formule, un théorème un truc du genre?)


s'il n'y a pas de solution, c'est qu'il n'y a pas de problème... ou pas.

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#18 Le 18/09/2014, à 14:01

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

C'est bon j'ai fini

en gros les multiples communs sont
7560
7560*2
7560*3
7560*4
7560*5

merci à vous !


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#19 Le 18/09/2014, à 15:48

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonjour à tous!

Nouvelle question de maths (oui, j'en pose souvent)

je suis confronté à un petit exercice ou il faut prouver que (11n+3) et (7n+2) sont premiers entre eux

ce qui implique plusieurs choses :

Premierement
Cela traduit que PGCD (u,v) = 1
ou/et bien que u*v = ppcm(u,v)  //oui car on sait que u*v=ppcm*pgcd


Ensuite, je sais que en multipliant u et v on obtient
77n² + 43n + 6 = ppcm
et que 77 peut s'écrire 11*7 en nombre premier.

A part cela, je n'arrive toujours pas à prouver que le PGCD = 1


Vous avez des solutions ? Si oui je vous dit merci ! smile

Dernière modification par couim (Le 18/09/2014, à 15:48)


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#20 Le 18/09/2014, à 16:04

Shanx

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Modération : nous avons fusionné tes différents sujets. Si tu as encore besoin d’aide, nous t’invitons à continuer dans cette discussion (pas la peine de les multiplier). Tu peux aussi modifier ton premier message si tu souhaites changer le titre.

Question sans rapport avec la modération : c’est quoi l’intérêt de demander de l’aide pour tous tes exercices ? Le but n’est pas de les faire soi-même ?


Mes randos : grande traversées des Alpes, de l'Islande, de la Corse, du Japon (en vélo), etc.
Traversée des États-Unis à pied

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#21 Le 18/09/2014, à 18:10

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Bonsoir,
Oui bien sûr c'est une bonne idée! J'espère toujours pouvoir trouver des éléments de réponse même si on a par le fait un "géant" topic attirera peut être moins

Et bien justement en fait j'ai énormément d'exercices à faire là dessus parce que à ce qui paraît en informatique on va utiliser ces trucs pour faire de la cryptographie smile

Bref si je les fais pas moi même c'est parce que... je n'arrive pas tout seul :-D je précise y avoir passé une heure dessus dans la mesure ou la consigne de base etait de prouver que la fraction u/v etait irréductible


Donc j'ai déterminé qu'il fallait que u et v soient premiers entre eux et donc que pgcd=1

Mais depuis ça... je tourne en rond


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#22 Le 18/09/2014, à 21:21

Clémentv

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Est-ce que tu as vu le théorème de Bézout ? SI oui, essaye de l'appliquer ici.

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#23 Le 18/09/2014, à 21:22

couim

Re : [Résolu] Quelques petits problèmes de maths

Oui tout à fait je l'ai appliqué j'ai fini par trouver smile

je vais mettre résolu

merci pour ta réponse !


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