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#1 Le 23/10/2008, à 15:42

antoinexp

Exercice de math sur les barycentres

Bonjour !

J'ai un exercice de math que je ne parviens pas à résoudre !
Pourriez-vous m'aider ?



Soit ABCD un carré . Quel est l'ensemble des points M du plan tels que :
a) 2MA - MB + MC et MA - MB + MC soient colinéaires
b) 2MA - MB + MC et MA - MB + 2MC aient la même norme ?



(MA, MB, etc, sont des vecteurs ! Pas des longueurs ...)

A priori, il faut utiliser la "propriété de réduction (ou fondamental)" puisque c'est dans le chapitre du livre qui parle de ça ...



voici ce que j'ai cherché à faire :
a) _ sont colinéaires si : 2MA - MB + MC = k(MA - MB + MC)
_ d'après la propriété de réduction :
2MA - MB + MC = 2MG avec G barycentre de {(A,2)(B,-1)(C,1)}
MA - MB + MC = MG' avec G' barycentre de {(A,1)(B,-1)(C,1)}
_D'où d'après la propriété de "positionnement" :
AG = BC/2
AG'= BC
_ Puisque ABCD est un carré, alors : AB = DC et DA = CB
_ D'où
AG = AD/2
AG'= AD <=> donc G' est en D
_ Donc on a :
2MA - MB + MC = k(MA - MB + MC)
2MG = k(MG')
2MA + 2AG = kMD
2MA + AD = kMA
MA + MD = kMA
MA - kMA + MD = 0
(1-k)MA + MD = 0
_ Donc :
2MA - MB + MC et MA - MB + MC sont colinéaires si M est le barycentre de {(A,1-k)(D,1)} avec k<>2

mais à mon avis, ce n'est pas ça ... hmm

Dernière modification par antoinexp (Le 23/10/2008, à 16:21)

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#2 Le 23/10/2008, à 16:25

Adhémar

Re : Exercice de math sur les barycentres

Voici la solution pour le a), mais je n'utilise pas cette méthode des barycentres, que je ne connais pas/plus. En gros: Soit ABCD ton carré. Tu prends comme vecteurs de base AB et AD. La position du point M dans ton système d'axe est alors donnée par le vecteur AM. Soit (a,b) les composantes du vecteur dans ce système d'axe. Alors:
MA = (-a,-b)
MB = (1-a,-b)
MC= (1-a,1-b)
Et donc:
2 MA- MB + MC = (-2 a, 1 - 2 b)
MA - MB + MC = (-a, 1 - b)
Les deux vecteurs sont colinéaires si il existe un t non nul tel que 2 MA- MB + MC  = t (MA - MB + MC ). Ecrivant cette équation composante par composante, tu trouves un système d'équations:
-2 a = - a t
1 - 2 b = (1 - b) t
La première équation te montre que soit a = 0 , soit t = 2.
Dans le premier cas, tu vois que b = (-1 + t)/(-1 + 2 t). Dans le second cas, b = 1/3.

Tu as donc deux familles de solution. La première de la forme: (0, (-1 + t)/(-1 + 2 t) ) où t est libre, et la seconde de la forme (a, 1/3 ) où a est libre, qui correspondent respectivement à l'axe AD et à la droite parallèle à l'axe AB intersectant l'axe AD en 1/3.

Pour la partie b), je te laisse la résoudre, parce que j'ai pas envie de finir ton devoir smile

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#3 Le 23/10/2008, à 16:56

antoinexp

Re : Exercice de math sur les barycentres

Adhémar a écrit :

Voici la solution pour le a), mais je n'utilise pas cette méthode des barycentres, que je ne connais pas/plus. En gros: Soit ABCD ton carré. Tu prends comme vecteurs de base AB et AD. La position du point M dans ton système d'axe est alors donnée par le vecteur AM. Soit (a,b) les composantes du vecteur dans ce système d'axe. Alors:
MA = (-a,-b)
MB = (1-a,-b)
MC= (1-a,1-b)
Et donc:
2 MA- MB + MC = (-2 a, 1 - 2 b)
MA - MB + MC = (-a, 1 - b)
Les deux vecteurs sont colinéaires si il existe un t non nul tel que 2 MA- MB + MC  = t (MA - MB + MC ). Ecrivant cette équation composante par composante, tu trouves un système d'équations:
-2 a = - a t
1 - 2 b = (1 - b) t
La première équation te montre que soit a = 0 , soit t = 2.
Dans le premier cas, tu vois que b = (-1 + t)/(-1 + 2 t). Dans le second cas, b = 1/3.

Tu as donc deux familles de solution. La première de la forme: (0, (-1 + t)/(-1 + 2 t) ) où t est libre, et la seconde de la forme (a, 1/3 ) où a est libre, qui correspondent respectivement à l'axe AD et à la droite parallèle à l'axe AB intersectant l'axe AD en 1/3.

Merci pour ta réponse ! mais hum :
-2 a = - a t
ça ne serait pas plutôt a=1 ?

Adhémar a écrit :

Pour la partie b), je te laisse la résoudre, parce que j'ai pas envie de finir ton devoir smile

A vrai dire, ce n'est pas un devoir, j'ai un DST de math demain sur les barycentres, et je faisais quelques exercices du livre, et j'ai fait l'impasse sur celui-ci ...

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#4 Le 23/10/2008, à 18:27

alexises

Re : Exercice de math sur les barycentres

3e forum tu es repairer


/!\ aveugle ne pas matraquer /!\
¨¨¨                                       ¨¨¨

il est ou le bouton poster ?

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#5 Le 23/10/2008, à 20:09

CyrilouGarou

Re : Exercice de math sur les barycentres

Pour le 1) http://mathsbruyeres.free.fr/1eres/newfile1.pdf

Pour le 2) http://mathsbruyeres.free.fr/1eres/newfile2.pdf

Dernière modification par CyrilouGarou (Le 24/10/2008, à 17:33)


Ma page artiste soundcloud https://soundcloud.com/la-reponse

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#6 Le 24/10/2008, à 11:47

Adhémar

Re : Exercice de math sur les barycentres

antoinexp a écrit :

Merci pour ta réponse ! mais hum :
-2 a = - a t
ça ne serait pas plutôt a=1 ?

Non.

-2 a = - a t
a (t -2) = 0

T'a donc deux possibilités: a = 0 ou ( t - 2 ) = 0.

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#7 Le 24/10/2008, à 17:06

CyrilouGarou

Re : Exercice de math sur les barycentres

"Les deux vecteurs sont colinéaires si il existe un t non nul tel que...."

Pourquoi non nul ?  Ta définition est fausse.

La méthode donnée pour le  a) dans mon post précédent est la plus rapide et est attendue au niveau 1ere S (car très rapide et met en valeur le cours).


Ma page artiste soundcloud https://soundcloud.com/la-reponse

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#8 Le 24/10/2008, à 18:21

antoinexp

Re : Exercice de math sur les barycentres

alexises a écrit :

3e forum tu es repairer

Ahah !  ... Comment t'as su ? hmm
Quoiqu'il en soit, personne n'a répondu (sauf sur ce forum)



Et merci beaucoup pour vos réponses ! smile


Je ressors de mon DST de math !  Je pense que j'ai bien réussi les exercices sur les barycentres mais j'ai un peu raté les exercices sur le second degré (par exemple, fallait prouver que ax²+bx+c avait une racine qui valait 1 lorsque a+b+c=0 ....)

</jeracontemavie>

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#9 Le 24/10/2008, à 19:12

Joss17

Re : Exercice de math sur les barycentres

(par exemple, fallait prouver que ax²+bx+c avait une racine qui valait 1 lorsque a+b+c=0 ....)

Lol trop dur ! smile

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#10 Le 24/10/2008, à 19:23

anekdoten

Re : Exercice de math sur les barycentres

lol on rigole pas, on est tous passé par là...

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#11 Le 24/10/2008, à 20:00

Adhémar

Re : Exercice de math sur les barycentres

CyrilouGarou a écrit :

"Les deux vecteurs sont colinéaires si il existe un t non nul tel que...."

Pourquoi non nul ?  Ta définition est fausse.

Ca dépend comment tu considères le vecteur nul. Si il est colinéaire à tout les vecteurs, alors tu peux prendre t = 0. Si il n'est colinéaire à aucun vecteur, tu dois imposer t != 0. L'inconvénient, dans le premier cas, c'est que la relation 'être colinéaire à' n'est plus transitive.

A.

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#12 Le 25/10/2008, à 01:13

Joss17

Re : Exercice de math sur les barycentres

Effectivement, la définition de la colinéarité est adopté aussi pour un coefficient nul. C'est juste une question d'usage, mais le vecteur nul est colinéaire à tous vecteur.

a+

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#13 Le 25/10/2008, à 03:05

xabilon

Re : Exercice de math sur les barycentres

Salut

Je veux pas casser l'ambiance, mais on a déjà eu le cas de l'étudiant qui tente de se faire faire ses devoirs sur le forum, et de son prof qui tombe justement sur le sujet ...


Pour passer un sujet en résolu : modifiez le premier message et ajoutez [Résolu] au titre.

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#14 Le 25/10/2008, à 09:24

CyrilouGarou

Re : Exercice de math sur les barycentres

Adhémar, ça dépend de rien du tout: ta définition est fausse (et je n'ai pas dit qu'il fallait uniquement corriger le "non nul" dans ta phrase).

La vraie définition est:

u et v sont colinéaires s'il existe une combinaison linéaire non triviale de u et v qui soit nulle (donc s'il existe x et y réels non simultanément nuls tels que xu+yv=0).

(en fait c'est la définition de vecteurs liés dans un espace vectoriel)

La relation "être colinéaire à" est alors réflexive, symétrique et transitive (relation d'équivalence) sur le plan privé de son origine. L'espace quotient par cette relation est appelé espace projectif à une dimension.

Dernière remarque, on dit que le vecteur nul est isotrope (il a toutes les directions) car il est colinéaire à tout vecteur du plan.

A+

Dernière modification par CyrilouGarou (Le 25/10/2008, à 09:28)


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#15 Le 25/10/2008, à 12:16

Adhémar

Re : Exercice de math sur les barycentres

CyrilouGarou a écrit :

u et v sont colinéaires s'il existe une combinaison linéaire non triviale de u et v qui soit nulle (donc s'il existe x et y réels non simultanément nuls tels que xu+yv=0).

Si tu prends des e.v sur IR, ta définition est équivalente à la mienne. Si ni x ni y ne sont nuls, il te suffit de poser t = -x/y ou t = -y/x pour retrouver la définition que je t'ai donné. Si x ou y est nul, un des deux vecteurs est alors le vecteur nul, et alors, on peut chipoter.

Maintenant, sur des e.v. plus généraux (sur des corps discrets, particulièrement), je suis d'accord pour dire que ta définition est sans doute meilleure que la mienne.

A.

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#16 Le 25/10/2008, à 12:39

CyrilouGarou

Re : Exercice de math sur les barycentres

Non.

Attention la phrase "x et y non simultanément nuls" signifie que au moins l'un des deux n'est pas nul (et pas comme tu le dis: x ET y non nuls).

LA définition que je te donne est vraie sur tout corps "discret ou pas". D'ailleurs, tu veux sûrement dire "corps fini" et non "corps discret". L'adjectif "discret" suppose que l'ensemble est muni d'une topologie discrète et je ne vois pas en quoi la topologie a à voir avec le sujet ici. Bref, corps fini ou pas, ça ne change rien à la définition. D'ailleurs la théorie des espaces vectoriels concerne n'importe quel corps.

Même sur |R, ta définition ne colle pas avec celle qui est adoptée par la communauté mathématique mondiale.

Pour être précis, on dit que u_1,...,u_n sont liés s'il existe une combinaison linéaire non triviale des u_i qui donne le vecteur nul, plus formellement:

s'il existe (x_1,...,x_n) dans |R^n\{(0,...,0)} tel que Somme x_i u_i=0

Le cas colinéaire est quand n=2.

La définition que je donne est archi générale puisque c'est celle qui est prise même sur des A-modules

PS:

Si on prenait ta définition, pour A différent de B, l'ensemble des points M tels que AM colinéaire à AB ne serait pas la droite (AB) mais la droite (AB) privée de A ce qui serait fâcheux !

Dernière modification par CyrilouGarou (Le 25/10/2008, à 18:21)


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#17 Le 30/11/2008, à 21:54

antoinexp

Re : Exercice de math sur les barycentres

Joss17 a écrit :

(par exemple, fallait prouver que ax²+bx+c avait une racine qui valait 1 lorsque a+b+c=0 ....)

Lol trop dur ! smile

anekdoten a écrit :

lol on rigole pas, on est tous passé par là...

Et zut ! hmm hmm hmm hmm
J'ai fait une démonstration qui prenais dix lignes alors que ça n'en prenais qu'une demi ligne .... roll
(mais là question suivante était déjà plus complexe : "que vaut donc l'autre racine ?" Mais cependant faisable ... Mais je n'ai su le faire le jour du DS ...)

xabilon a écrit :

Salut

Je veux pas casser l'ambiance, mais on a déjà eu le cas de l'étudiant qui tente de se faire faire ses devoirs sur le forum, et de son prof qui tombe justement sur le sujet ...

Liens sinon fake ! big_smile
Mais hmm, je ne pense pas qu'il ait la moindre connaissance d'Ubuntu ... (donc pas plus de ce forum)
Déjà qu'il a du mal avec windows ! (oui, on a un ordinateur dans notre classe)

Ou alors il a du mal parce qu'il n'a pas l'habitude, parce qu'il est sur linux ...

Roh, ne parlons pas de malheur ! hmm

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#18 Le 01/12/2008, à 11:20

pg261

Re : Exercice de math sur les barycentres

Joss17 a écrit :

(par exemple, fallait prouver que ax²+bx+c avait une racine qui valait 1 lorsque a+b+c=0 ....)

Lol trop dur ! smile
Et zut ! hmm hmm hmm hmm
J'ai fait une démonstration qui prenais dix lignes alors que ça n'en prenais qu'une demi ligne .... roll
(mais là question suivante était déjà plus complexe : "que vaut donc l'autre racine ?" Mais cependant faisable ... Mais je n'ai su le faire le jour du DS ...)

C'est pas vraiment balaise non plus : la somme des racines fait -b/a, donc l'autre c'est 1 - b/a. Voilà. (sauf si a = 0 donc b + c = 0 donc l'équation est b(x - 1) = 0, et si b n'est pas nul il n'y a pas de deuxième racine)

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#19 Le 01/12/2008, à 18:21

antoinexp

Re : Exercice de math sur les barycentres

pg261 a écrit :
Joss17 a écrit :

(par exemple, fallait prouver que ax²+bx+c avait une racine qui valait 1 lorsque a+b+c=0 ....)

Lol trop dur ! smile
Et zut ! hmm hmm hmm hmm
J'ai fait une démonstration qui prenais dix lignes alors que ça n'en prenais qu'une demi ligne .... roll
(mais là question suivante était déjà plus complexe : "que vaut donc l'autre racine ?" Mais cependant faisable ... Mais je n'ai su le faire le jour du DS ...)

C'est pas vraiment balaise non plus : la somme des racines fait -b/a, donc l'autre c'est 1 - b/a. Voilà. (sauf si a = 0 donc b + c = 0 donc l'équation est b(x - 1) = 0, et si b n'est pas nul il n'y a pas de deuxième racine)

Me suis bien fait avoir, encore une fois neutral ...

hum, juste, si a=0 bin, c'est plus un trinôme du second degré ... (donc la question ne se pose pas)

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#20 Le 02/12/2008, à 15:53

pg261

Re : Exercice de math sur les barycentres

en plus je me suis gourré c'est -1 - b/a évidemment, désolé pour la distraction...
mais bon je crois qu'on s'en fout...

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