Mathématiques : découverte ou invention ?

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 10:45

sucarno a écrit :

Salut,
C'est suite à une illusion optique. Si on regarde deux rails; on a l'impression qu'ils se coupent rejoignent à l'infini.

Dernière modification par Compte supprimé (Le 21/11/2011, à 10:45)

sucarno · Le 21/11/2011, à 10:49

L_d_v_c@ a écrit :

sucarno a écrit :
Salut,
C'est suite à une illusion optique. Si on regarde deux rails; on a l'impression qu'ils se coupent à l'infini.

?????????????

trapangle · Le 21/11/2011, à 10:50

sucarno a écrit :

Quelqu'un peut me donner une définition bien précise de l'infini.

lim (x->0) x⁻¹

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 10:56

trapangle a écrit :

sucarno a écrit :
Quelqu'un peut me donner une définition bien précise de l'infini.
lim (x->0⁺) x⁻¹

sucarno · Le 21/11/2011, à 10:56

trapangle a écrit :

sucarno a écrit :
Quelqu'un peut me donner une définition bien précise de l'infini.
lim (x->0) x⁻¹

Il se trouve où ?

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 10:57

sucarno a écrit :

Il se trouve où ?

à mi-chemin de deux fois l'infini ?

Dernière modification par Compte supprimé (Le 21/11/2011, à 11:06)

trapangle · Le 21/11/2011, à 11:10

sucarno a écrit :

trapangle a écrit :
sucarno a écrit :
Quelqu'un peut me donner une définition bien précise de l'infini.
lim (x->0) x⁻¹
Il se trouve où ?

∞ = lim (x->0) x⁻¹

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 11:12

trapangle a écrit :

sucarno a écrit :
trapangle a écrit :
lim (x->0) x⁻¹
Il se trouve où ?
∞ = lim (x->0) x⁻¹

-∞ = lim (x->0⁻) x⁻¹
+∞ = lim (x->0⁺) x⁻¹
les signes ...

sucarno · Le 21/11/2011, à 11:16

Salut,

le x=0 est bien localisé; en effet, 0 = lim (x->∞) x⁻¹.

Mais le x = ∞ me parait absurde; dans ce cas, x vaut combien ?

trapangle · Le 21/11/2011, à 11:50

Les signes ne sont pas obligatoires pour la compréhension : on dit 1, 2, 3, pas +1, +2, +3

x = 0 pas besoin de limite pour s'en approcher, c'est concret.
x = ∞ est abstrait, il ne faut pas se demander combien vaut x concrètement.

Tentative d'image : soit une balance avec de chaque côté, un poids de masse 1 kg situé à un mètre du point d'équilibre, on néglige la masse de la barre. Si je divise un des poids en deux (masse de 500g), il faut que je le place à 2m du point d'équilibre pour que la balance reste en équilibre (de l'autre côté, je garde 1kg à 1m). Si je divise encore en deux, à 4m du point d'équilibre, etc.
Lorsque la masse du petit poids tend vers 0 (et cette fois-ci, elle ne sera jamais nulle : même une molécule atome proton quark a une masse), la distance par rapport au point d'équilibre tend vers l'infini. La masse ne sera jamais égale à zéro et la distance ne sera jamais l'infini, mais on peut toujours s'en rapprocher un peu plus (en faisant abstraction de la structure de la matière et en supposant que l'univers est infini).

loutre · Le 21/11/2011, à 12:00

Pour en revenir à la question de départ... (car à la base, ce topic est intéressant ).

Je pense que les mathématiques sont une invention : invention particulière, puisque son originalité est de tenter l'abstraction de la réalité.

Par exemple, les formes géométriques (carré, rectangle, triangle) n'existent pas dans la nature. On peut trouver des objets qui ont des formes approchantes à ces abstractions, ou bien s'imaginer le dessin d'un triangle avec trois étoiles dans le ciel, mais stricto sensu ces concepts n'existent pas. Ce sont donc des inventions.

Au Tchad où j'habite, je m'étonnais que les gens disent "pour être bon en maths, il faut être bon en français". Je ne voyais pas le rapport avant que l'on m'explique que l'enseignement des mathématiques est donné en français car tout le vocabulaire des mathématiques n'existent pas dans les langues locales, parfois même pour des mots qui nous semblent aussi élémentaires que "triangle" ou "carré". Ces mots sont des abstractions de la réalité, comme tout concept mathématique.

J'ai tendance à réduire les mathématiques à son vocabulaire et à sa grammaire. L'invention des mathématiques est celle d'un langage visant à décrire l'univers et ses règles. Il ne faut pas confondre les mathématiques avec ce qu'ils décrivent, c'est un principe épistémologique de ne pas confondre le mot et la chose.

Dernière modification par loutre (Le 21/11/2011, à 12:13)

sucarno · Le 21/11/2011, à 12:06

Salut,
@trapangle
C'est une tentative avec beaucoup d’abstractions et trop de suppositions.
Mais c'est loin d'une réponse convaincante.

Dernière modification par sucarno (Le 21/11/2011, à 12:07)

trapangle · Le 21/11/2011, à 12:10

De rien.

Sinon je trouve aussi que le sujet d'origine est beaucoup plus intéressant, mais je ne me sens pas suffisamment armé pour discuter de philosophie

Dernière modification par trapangle (Le 21/11/2011, à 12:12)

trapangle · Le 21/11/2011, à 12:23

loutre a écrit :

Par exemple, les formes géométriques (carré, rectangle, triangle) n'existent pas dans la nature. On peut trouver des objets qui ont des formes approchantes à ces abstractions, ou bien s'imaginer le dessin d'un triangle avec trois étoiles dans le ciel, mais stricto sensu ces concepts n'existent pas. Ce sont donc des inventions.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_ … de_Bravais ?

loutre · Le 21/11/2011, à 12:29

trapangle a écrit :

loutre a écrit :
Par exemple, les formes géométriques (carré, rectangle, triangle) n'existent pas dans la nature. On peut trouver des objets qui ont des formes approchantes à ces abstractions, ou bien s'imaginer le dessin d'un triangle avec trois étoiles dans le ciel, mais stricto sensu ces concepts n'existent pas. Ce sont donc des inventions.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_ … de_Bravais ?

Belle tentative, mais non .
Ces jolies structures peuvent avoir des formes de cubes, des formes d'hexagones, mais en aucun cas ce ne sont des cubes, des hexagones, etc.

side · Le 21/11/2011, à 15:50

@na kraïou : no problem

@loutre : je trouve que tu pousses le bouchon un peu loin.

Si je suis ton raisonnement nous ne savons rien sinon les formes que l'on donne aux savoirs. Pourtant certaines choses sont. Le cube est un objet qui correspond a une réalité stricte (et à mon sens pure, ontologique) qui est la résultante de phénomènes naturels. Le cube c'est ce qui se passe quand des plans se croisent avec des angles droits toussa. Les plans existent, tout comme l'espace. Même si la Nature ne formalise pas, elle est. Nous ne faisosns que décrire des choses qui existe déjà avec les objet géométrique, on leur donne des noms, et on découvre leurs propriétés.

sucarno · Le 21/11/2011, à 17:04

loutre a écrit :

Belle tentative, mais non .
Ces jolies structures peuvent avoir des formes de cubes, des formes d'hexagones, mais en aucun cas ce ne sont des cubes, des hexagones, etc.

Désolé, la diffraction par rayon X montre bel et bien que toutes ces structures existent.
Autre exemple, parfois à 0° ( rare au Tchad ) on peut voir sur le fenêtre de belles figures géométriques résultantes de ces structures cristallines.

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 17:09

Le footballène est un assemblage parfait géométriquement de 60 atomes de carbones.
édit : le C20 n'est fait que de pentagones. Enfin les atomes sont aux sommets d'un dodécaèdre.
Les fullerènes sont la quatrième forme allotropique du carbone et n'ont jamais été observés dans la nature à l'état naturel.

Dernière modification par Compte supprimé (Le 21/11/2011, à 17:37)

pierrecastor · Le 21/11/2011, à 17:41

Si je comprend bien ou veut en venir Loutre, il parle de forme géométrique parfaite.

La définition géométrique d'une droite la définie comme n'ayant pas d’épaisseur, donc on ne pourra jamais trouver une droite dans le monde réel (palpable).

De la même façon que le footballène n'est pas une forme géométriquement parfaite vu que les atomes on une surface leur liaisons n'existe pas physiquement (de ce que je me rappel).

C'est comme l'exemple de Loutre ou l'on extrapole un triangle avec trois étoiles, mais ce triangle n'existe pas réellement au sens géométrique du terme.

Compte supprimé · Le 21/11/2011, à 17:52

pierrecastor a écrit :

Si je comprend bien ou veut en venir Loutre, il parle de forme géométrique parfaite.
...

Si on va par là l'analogique n'existe pas car un carré aura toujours une surface qui se compte dans le monde réel en nombre entier d'atomes (pour peu qu'on soit dans le plan des atomes, prenons du diamant par exemple).

Comme toute la matière est constituée d'éléments discrets, il n'existe aucun cercle parfait dans le monde réel. C'est pour cela que le mot cercle est une abstraction, un concept, un autre mot a été énuméré mais je l'ai déjà oublié.
édit : formalisme ?

Dernière modification par Compte supprimé (Le 21/11/2011, à 17:53)

Le Farfadet Spatial · Le 21/11/2011, à 17:56

Salut à tous !

ArkSeth a écrit :

Okay, donc t'es juste en train d'affirmer que 2 + 2 = 5

D’abord, je suis loin d’être le seul : le premier à parler de géométrie projective (quoique de manière non totalement formalisée) est Girard DESARGUES en 1639. Ceux qui l’on vraiment développée sont MONGE et PONCELET un siècle et demi plus tard. À partir de là, des générations de mathématiciens ont travaillé sur la géométrie projective. Qui est toujours très utile de nos jours.

Encore une fois, cela n’a rien à voir avec 2 + 2 = 5 (ou de noyer le poisson au sujet du logiciel libre). Dans ce cas, on se contente de compter ainsi : 1, 2, 3, 5, 4, 6, 7, … Cela n’apporte rien. En revanche, la géométrie projective est une construction rigoureuse et d’un réel apport. Un exemple (la première vidéo) extrait du premier lien que j’ai donné – tu devrais vraiment les lire, ils sont bien faits, clairs et donnent des illustrations, ils donnent beaucoup plus d’éléments que ce que je peux faire dans un forum : soit deux droites sécantes. Faisons pivoter l’une de ces droites selon un point de la droite qui ne soit pas le point d’intersection : le point d’intersection se déplace sur l’autre droite. Continuons de faire pivoter la droite, jusqu’à ce que les deux droites soient parallèles : le point d’intersection est rejeté de plus en plus loin. Jusqu’à la limite, le parallélisme. Si l’on continue de faire pivoter la droite, le point d’intersection réapparait, mais de l’autre côté. La question est : qu’est devenu le point d’intersection au moment où les deux droites étaient parallèles ? Un raisonnement asymptotique on ne peut plus classique permet de le dire : à l’infini.

Plutôt que de t’acharner sur la définition du parallélisme, qui est cohérente et juste, tu devrais plutôt te poser la vraie question : qu’est-ce que l’infini ?

ArkSeth a écrit :

C'était vraiment trop compliqué d'inventer un nouveau mot ?

Sauf qu’il s’agit exactement du même concept. Exactement le même. C’est ce que tu as du mal à saisir. En effet, la géométrie projective se réalise à partir du plan euclidien, simplement enrichi de la droite à l’infini. Alors, les droites parallèles du plan euclidien se coupent sur la droite infinie. Le deuxième lien que j’ai donné réalise la construction de ce plan projectif. Exactement le même concept, donc exactement le même mot : « parallèle ».

Πυλάδης a écrit :

Bah t’as des lois qui disent des choses différentes en fonction du point ou tu te trouves.
Mais si tu commences à admettre que les lois puissent changer sans

Changer sans quoi ?

Πυλάδης a écrit :

là ça va être difficile de faire de la science…
Nan ?

Non, pourquoi ?

Lorsqu’elle se trouve face à un phénomène, la science cherche à le décrire et à en déterminer les mécanismes. S’il s’avère que les principes de la physique, par exemple, sont locaux, hé bien, on en détermine les particularismes locaux, voilà tout.

Πυλάδης a écrit :

Le Farfadet Spatial a écrit :
Avant de parler de simulation, il faut déjà se rendre compte que ce n’est pas parce que l’on dispose de loi que la réalité décrite est nécessairement déterministe.
Ouais, aussi, mais si déjà on ne peut pas le calculer…

Dans un tel cas, on peut parfaitement opter pour une approche probabiliste. C’est exactement ce que l’on fait en mécanique quantique : les équations induites n’ont pas de solutions, à l’échelle microscopique la matière a des propriétés aléatoires, que l’on décrit à l’aide des probabilités et des statistiques. On cherche à définir l’ensemble des possibles, qui peut être très grand.

Ça n’a rien d’une limite indépassable, pas plus qu’il est nécessaire de supposer que les lois de la physiques soient immuables en tout point de l’univers (et à tout instant).

trapangle a écrit :

Selon moi, l'équidistance de deux objets géométriques se mesure par rapport à un troisième objet. Deux droites peuvent être équidistantes d'un point, d'une troisième droite, d'un plan ou d'un autre objet : ça signifie que la distance de la première droite à l'objet de référence est la même que la distance de l'autre droite à l'objet de référence.

Comment se définie la distance d’un point à une droite ?

L_d_v_c@ a écrit :

Il doit y avoir une aberration de perception, de la même façon les rails du train ne se touchent pas à l'infini et un appareil photographique avec un zoom infini le prouverait si nous étions dans le vide, non gêné par l'atmosphère.

Quelle est l’influence de l’atmosphère sur la perspective ?

sucarno a écrit :

Quelqu'un peut me donner une définition bien précise de l'infini.

Voilà une bonne question. Es-tu intéressé par celle de CANTOR, de RUSSEL ou de WITTGENSTEIN ? Car difficile de considérer l’infini comme étant unique.

Dans le cas de la géométrie projective plane, de toute évidence il y a plusieurs infinis, dans la mesure où deux droites sécantes ne se coupent pas à l’infini : il y a un infini par direction, donc une infinité d’infinis. Ça tombe bien, la droite infinie est constituée d’une infinité de points. Encore une fois, je renvois aux liens que j’ai donnés.

loutre a écrit :

Ces jolies structures peuvent avoir des formes de cubes, des formes d'hexagones, mais en aucun cas ce ne sont des cubes, des hexagones, etc.

Je ne comprends pas la subtilité.

Si jamais une structure cristaline est composée de volumes à six faces de mêmes aires et qui s’intersectent toutes en angles droits, s’il ne s’agit pas de cubes, de quoi s’agit-il au juste ?

pierrecastor a écrit :

les atomes on une surface

Quelle est la surface d’un atome ?

Rappel des liens que j’ai donnés :

À bientôt.

Le Farfadet Spatial

Dernière modification par Le Farfadet Spatial (Le 21/11/2011, à 17:59)

sucarno · Le 21/11/2011, à 18:02

@Le Farfadet Spatial

Merci pour les liens, je vais les regarder plus tard.

pierrecastor · Le 21/11/2011, à 19:37

[quote=Le Farfadet Spatial
[...]
Quelle est la surface d’un atome ?

[...]

side · Le 21/11/2011, à 20:34

Πυλάδης a écrit :

side a écrit :
Πυλάδης a écrit :
Même les Papous qui n’ont jamais entendu parler des maths ont des nombres…
Bah justement non. Je sais pas pour les papous mais certaines sociétés primitives aborigènes d’Australie ne connaissent que « un », « deux » et « plusieurs ».
Mais il y a malgré tout le « deux », moi, c'est ça qui me perturbe. Qu'il n'y ai que le « un » me paraîtrais plus "logique".
Bah justement : même eux ont quand-même des nombre !

D'accord mais le fait qu'ils n'aient que le 1 et le 2 me prouve que les nombres n'ont en fait rien d'évident. Et ça ne répond pas à la question qui est de savoir si oui ou non les nombres sont des réalités concrètes. Ca aurais malgré tout tendance à indiquer que les nombres ne sont que pures inventions. Seul un et deux serait des réels concrets. Et il y a fort a parier qu'ils sont des inventions ou des découvertes venu du fin fond de l'histoire humaine.

Edit : auto-fixed

Dernière modification par side (Le 21/11/2011, à 23:38)

Le Farfadet Spatial · Le 21/11/2011, à 21:14

Salut à tous !

pierrecastor a écrit :

Le Farfadet Spatial a écrit :
[...]
Quelle est la surface d’un atome ?
[...]

Aucune idée

En l’état actuel des connaissances, c’est peut-être la réponse la plus raisonnable que l’on peut donner. Le modèle représentant un atome comme un mini système solaire est définitivement abandonné : la trajectoire des électrons est insoluble, de sorte que tout ce que l’on peut donner les concernant est une probabilité de répartition. Bien entendu, on peut toujours définir le volume à l’intérieur de laquelle les électrons ont 95 % de chances de se trouver (par exemple) et décider que la surface extérieure de ce volume est celle de l’atome, mais cela a-t-il un sens ? D’ailleurs, cela a-t-il un sens avec la notion de liaison entre atomes qui était la raison pour laquelle tu en as parlé ?

Tiens, en passant :

Le Farfadet Spatial a écrit :

Si jamais une structure cristaline est composée de volumes à six faces de mêmes aires et qui s’intersectent toutes en angles droits, s’il ne s’agit pas de cubes, de quoi s’agit-il au juste ?

Je m’étonne que personne n’ait relevé : j’aurais du écrire « d’arêtes de même longueur », sinon on peut construire des pavés répondant à la définition qui ne sont pas des cubes.

À bientôt.

Le Farfadet Spatial

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