Ubuntu-fr

Sherman

Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Bonjour,

Je viens enfin de réussir l'installation d'Ubuntu sur mon ordinateur (ourah !).
Je copie tous mes fichiers et après compilation (et installation de Texstudio) il se trouve que le programme suivant refuse de compiler. Je tiens à préciser que je n'avais aucun soucis sur Windows.

J'ai l'impression que c'est le usepackage{francais} qui pose problème.

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{color}
\usepackage{multicol}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{Tkz-Tab}
\usepackage[theorems]{tcolorbox} % Encadrés

\declaretheorem[thmbox=M,name=Théorème]{theo}
\declaretheorem[thmbox=M,name={\color{red} Définition}]{definition}
\declaretheorem[thmbox=S,name={ Exemple}]{exemple}
\declaretheorem[thmbox=S,name={\color{blue} Remarque}]{rema}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Démonstration]{demo}
\declaretheorem[thmbox=S,name={\color{red} \Large \textbf{Attention}}]{att}
\declaretheorem[thmbox=M,name=\color{red} Propriété]{prop}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Corollaire]{cor}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Exercice]{exo}
\declaretheorem[thmbox=S,name=\color{magenta} Méthode]{methode}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Rappel]{rappel}

\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection})}

\title{\itshape \color{red}\Huge Chapitre 6 
\bigskip 
\vspace*{0.5cm}  Équations-inéquations-systèmes}
\date{}
\author{}
\begin{document}
\maketitle
\newpage
\section{Égalités}

\begin{prop} \label{Prop1}
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels et $d$ un nombre réel non nul. On a:
$\color{green}\bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a+c=b+c$ et $\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a \times d=b \times d$.
\\
Ce qui précède implique également:
\\
$\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow a-c=b-c$ et $\color{green} \bullet \color{black} \mbox{ }a=b \Leftrightarrow \frac{a}{d}=\frac{b}{d}$.
\end{prop}
\begin{rema}
Le symbole $\Leftrightarrow$ signifie "équivaut à". On peut aussi utiliser l'expression "si et seulement si".
\end{rema}

\begin{definition}
\begin{enumerate}
\item[•] Une équation d'inconnue $x$ est une égalité qui peut être vraie pour certaines valeurs de $x$ et fausse pour d'autres.
\item[•] Résoudre dans $\mathbb{R}$ une équation d'inconnue $x$, c'est trouver l'ensemble de ses \textbf{solutions}, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels pour lesquels l'égalité est vraie. On note généralement $\mathscr{S}$ cet ensemble de solutions.
\item[•] Deux équations sont \textbf{équivalentes} si elles ont le même ensemble de solutions.
L'équivalence est alors symbolisée par la double flèche $\Leftrightarrow$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{rema}
Une équation peut n'admettre aucune solution. L'ensemble des solutions est alors l'\textbf{ensemble vide}, noté $\emptyset$.
\end{rema}

\begin{rema}
Pour obtenir une équation équivalente, on peut:
\begin{enumerate}
\item[•] additionner ou soustraire un même nombre réel aux deux membres de l'équation;
\item[•] multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre réel non-nul.
\end{enumerate}
L'objectif étant d'isoler l'inconnue $x$ dans un membre de l'égalité. Nous serons donc amenés à utiliser la Propriété \ref{Prop1}.

\end{rema}
\begin{methode}
\textbf{Application}: résolution d'équations du premier degré.
\\ Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante: $2x+1=3+x$.
\\
On a: 
\begin{align*}
2x+1=3+x & \Leftrightarrow 2x+1 \color{red} -x \color{black} =3+x \color{red} -x \color{black} \mbox{ (on a soustrait $x$ aux deux membres)}\\
& \Leftrightarrow x+1=3 \\
& \Leftrightarrow x+1 \color{red} -1 \color{black} =3 \color{red} -1 \color{black} \mbox{ (on a soustrait un aux deux membres)} \\
& \Leftrightarrow x=2
\end{align*}
L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $2x+1=3+x$ est donc $\mathscr{S}=\left\{2\right\}$
\end{methode}

\begin{exo}
Dans chaque cas, le nombre $a$ est-il solution de l'équation proposée ?
\begin{enumerate}
\item $2x+4=5x-7$, $a=\frac{3}{4}$.
\item $\frac{2}{3}x-5=\frac{1}{2}-3$, $a=-\frac{23}{12}$.
\item $x+4=x-7$, $a=8$.
\item $2x+5=2(x+2)+1$, $a=-\frac{2}{3}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\\
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x+3=2$
\item $-5+x=4$
\item $3x=2$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $-5x-8=4$
\item $-4x+3=-10x$
\item $1-x=-8+2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\\
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $13+\frac{3}{2}x=1$
\item $4x+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}x+2$
\item $\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{x-3}{5}=\frac{3}{8}$
\item $\frac{2x-3}{7}=\frac{x-1}{3}$
\item $3x+4=-1-2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
%\fbox{
%\begin{minipage}{10cm}

%\color{red}Définition \color{black}Une égalité
%\\
%Remarque
%\end{minipage}}
%\setlength{\columnseprule}{0.1cm}
%\begin{multicols}{2}

%Exercice 1
%\columnbreak

%Exercice 2
%\end{multicols}
\subsection{Équations produit nul}
\begin{theo}
Un produit de nombres réels est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul:
\[
A_{1}(x)\times A_{2}(x)\times \ldots \times A_{n}(x)=0 \Leftrightarrow A_{1}(x)=0 \mbox{ \color{red} ou }
A_{2}(x)=0 \mbox{ \color{red} ou } \ldots \mbox{ \color{red} ou } A_{n}(x)=0. 
\]
\end{theo}

%\fcolorbox{red}{green}{\begin{minipage}{0.9\textwidth}
 %  \textbf{Démonstration:}
  % \vspace*{4cm}
%\end{minipage}}

\begin{rema}
Une telle équation est appelée une équation au produit nul.
\end{rema}
\newpage
\begin{exemple}
Pour tout nombre réel $x$:
\begin{align*}
x(x+1)(x-3)=0 & \Leftrightarrow x=0 \mbox{ \color{red} ou } x+1=0 \mbox{ \color{red} ou } x-3=0 \\
& \Leftrightarrow x=0 \mbox{ \color{red} ou } x=-1 \mbox{ \color{red} ou } x=3.
\end{align*}
L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $x(x+1)(x-3)=0$ est \\
$\mathscr{S}=\left\{-1;0;3\right\}$.
\end{exemple}

\begin{rema}
On pourra utiliser les identités remarquables pour se ramener à une équation au produit nul.
\begin{rappel}
Pour tous nombres $a$ et $b$ réels, on a:
\\
$\bullet (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ \quad $\bullet (a+b)^{2}=a^2+2ab+b^{2}$ \quad $\bullet (a-b)^{2}=a^2-2ab+b^{2}$
\end{rappel}
\end{rema}
\begin{exemple}
Pour tout réel $x$ on a:

\begin{align*}
4x^{2}-25=0 & \Leftrightarrow (2x)^{2}-5^{2}=0  \\
& \Leftrightarrow (2x+5)(2x-5)=0 \mbox{ (d'après $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$)} \\
& \Leftrightarrow 2x+5=0 \mbox{ ou } 2x-5=0 \mbox{ (d'après la propriété du produit nul)} \\
& \Leftrightarrow x=-2.5 \mbox{ ou } x=2.5
\end{align*}
Donc l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}=\left\{-2.5;2.5\right\}$
\end{exemple}
\begin{exo}
Développer et réduire les expressions suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(x+3)^{2}-x(x+2)$
\item $\left(\frac{2}{3}x-3\right)^{2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(3t-7)(3t+7)$
\item $(t^{2}+2)^{2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Factoriser les expressions suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $9a^{2}-4$
\item $x^{2}+18x+81$
\item $b^{2}-24b+144$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $16t^{2}+56t+49$
\item $t^{2}-1$
\item $(x-2)^{2}-36$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en se ramenant à une équation au produit nul:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x^{2}=18x$
\item $2x(x+3)=19(x+3)$
\item $(7x-1)^{2}=9$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(x+3)^{2}=(8x)^{2}$
\item $(x+3)^{2}=(2x-5)^{2}$
\item $\frac{4}{3}x^{2}=-2x$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $x^{2}=81$
\item $x^{2}-15x=0$
\item $5x^{3}=2x^{2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $(7x-5)^{2}=16$
\item $10(x+7)(x-5)=3x(x+7)$
\item $4(1-x)(4x+9)(2x+3)=0$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\subsection{Équations quotient nul}
\begin{theo}
Un quotient de deux nombres réels est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur est non nul.
\\ Autrement dit, on a l'équivalence:
\[
\frac{A(x)}{B(x)}=0 \Leftrightarrow A(x)=0 \mbox{ \textbf{et} } B(x)\neq 0.
\]

Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont appelées \textbf{valeurs interdites} du quotient.
\end{theo}
\begin{exemple}
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{5x-1}{x+1}=0$. On a:
\begin{align*}
\frac{5x-1}{x+1}=0 & \Leftrightarrow 5x-1=0 \mbox{ et } x+1\neq 0 \\
& \Leftrightarrow x=\frac{1}{5} \mbox{ et } x \neq -1
\end{align*}
-1 est la valeur interdite de l'équation $\frac{5x-1}{x+1}=0$.
\\ $\frac{1}{5}$ est différent de -1, donc l'unique solution de cette équation dans $\mathbb{R}$ est $\mathscr{S}=\left\{\frac{1}{5}\right\}$.
\end{exemple}
\newpage
\begin{exo}
Déterminer pour chaque expression algébrique les valeurs interdites et réduire au même dénominateur.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $1+\frac{2}{x+1}$
\item $5-\frac{2}{3x-2}$
\item $\frac{2}{x+1}+\frac{4}{3x-2}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{5}{4-3x}-\frac{2}{2x-1}$
\item $\frac{3x}{2x-1}+\frac{4x-1}{x}$
\item $\frac{x+2}{x-1}-\frac{x+3}{x+2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Vous déterminerez à chaque fois les valeurs interdites.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{x-2}{x+9}=0$
\item $\frac{2x-7}{x+3}=0$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{20-4x}{x-5}=0$
\item $\frac{5x-1}{2x+3}=0$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. Vous déterminerez à chaque fois les valeurs interdites.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{2x-1}{x+6}=1$
\item $\frac{4}{2x+6}=9$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\frac{2x}{x-4}=-3$
\item $\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{2}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\section{Inégalités}
\subsection{Définitions et propriétés}
\begin{prop}
Soient $a\mbox{, }b \mbox{ et }c$ trois nombres réels et $d$ un nombre réel non nul.\\
$\color{green} \bullet \mbox{ } \color{black} a< b \Leftrightarrow a+c <b+c \hspace*{1.45cm}\mbox{ et  } \color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow a-c <b-c$. \\
Si $d>0: \color{green} \bullet \mbox{ } \color{black} a< b \Leftrightarrow ad <bd \qquad \mbox{ et }   \color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow \frac{a}{d} <\frac{b}{d}$ \\
Si $d<0: \color{green} \bullet \mbox{ }  \color{black} a< b \Leftrightarrow ad > bd \qquad \mbox{ et }\color{green} \bullet \color{black} a< b \Leftrightarrow \frac{a}{d}>\frac{b}{d}$
\end{prop}
\begin{rema}
On a les mêmes équivalences si les inégalités sont larges et non strictes ("$\leq$" à la place "$<$").
\end{rema}
\begin{prop}
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels. \\
Si $a<b$ et $c<d$, alors $a+c<b+d$.
\end{prop}
\newpage 
\begin{att}
La propriété précédente ne permet pas de soustraire membre à membre deux inégalités. Prenons, par exemple, $3<5$ et $4<8$. La différence des membres de gauche est $3-4=-1$ tandis que celle des membres de droite est $5-8=-3$. Or $-1$ n'est pas plus petit que $-3$.
\end{att}
\begin{exo}
Soient $x$ un réel tel que $x<-5$ et $y$ un nombre réel tel que $y<7$. En utilisant les propriétés des inégalités que peut-on dire des expressions suivantes ?
\begin{enumerate}
\item $2x$
\item $-3y$
\item $x+y$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{definition}
\begin{enumerate}
\item[•] Une \textbf{inéquation} d'inconnue $x$ est une inégalité qui peut être vraie pour certaines valeurs de $x$ et fausse pour d'autres.
\item[•]\textbf{Résoudre} dans $\mathbb{R}$ une inéquation d'inconnue $x$, c'est trouver l'ensemble $\mathscr{S}$ de ses \textbf{solutions}, c'est-à-dire l'ensemble des nombres réels pour lesquels l'inégalité est vraie.
\end{enumerate}

\end{definition}
\begin{exemple}
$2x-4\leq 3$ est une inéquation d'inconnue $x$.
\begin{enumerate}
\item[•] $-6$ est une solution de cette inéquation. En effet, $2\times (-6)-4=-16$ et $-16\leq 3$.
\item[•]$5$ n'est pas solution de cette inéquation. En effet, $2\times 5-4=6$ et $6 >3$.
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{exo}
Dans chaque cas , déterminer si le nombre réel $a$ est solution de l'inéquation proposée.
\begin{enumerate}
\item $-6x+9>2 \mbox{ et } a=-1$
\item $2x+7<6x-5\mbox{ et } a=\frac{1}{2}$
\item $\frac{5}{2}x+2<x+1\mbox{ et }a=2$
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage
\subsection{Résolution d'inéquations du premier degré à une inconnue}
\begin{methode}
Pour résoudre une inéquation du type $ax+b< cx+d$, ou $ax+b\geq cx+d$ (avec $a\neq c)$, on utilise les propriétés des inégalités.
\\ Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation du $1^{\mbox{er}}$ degré $3x+1>x-7$.
\begin{align*}
3x+1>x-7 & \Leftrightarrow 3x+1 \color{red} -x \color{black} >x-7 \color{red} -x \color{black} \mbox{ (on a soustrait $x$ aux deux membres)}\\
& \Leftrightarrow 2x+1>-7 \\
& \Leftrightarrow 2x+1 \color{red} -1 \color{black} >-7 \color{red} -1 \color{black} \mbox{ (on a soustrait 1 aux deux membres)} \\
& \Leftrightarrow 2x>-8 \\
& \Leftrightarrow \frac{2x}{\color{red} 2}>\frac{-8}{\color{red} 2} \mbox{ (on a divisé chaque membre par 2 qui est positif,}\\ 
& \mbox{ donc on conserve le sens de l'inégalité)}\\
& \Leftrightarrow x> -4
\end{align*}
L'ensemble des solutions est donc l'intervalle $\mathscr{S}=\left]-4;+\infty \right[$.
\end{methode}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes et représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée.
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\item $4x-3 \geq 2x+5$
\item $2+x < 3-x$
\item $5+x>3+x$
\item $3-4x\leq 5+6x$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes 
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\item $2x+\frac{7}{2}\geq \frac{3}{2}-5x$
\item $2+x < -3+x$
\item $-\frac{3}{4}x+7>\frac{5}{4}+x$
\item $\frac{x+4}{7}\geq 3x$
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Une patinoire propose deux tarifs:
\\ $\bullet$ \textbf{tarif A}: chaque entrée coûte 5,25\euro{};
\\ $\bullet$ \textbf{tarif B}: on paie un abonnement à l'année de $12$\euro{} et chaque entrée coûte 3,50\euro{}. \\
Déterminer à partir de combien de sorties annuelles à la patinoire il vaut mieux prendre un abonnement.
\end{exo}
\begin{exo}
Le périmètre d'un rectangle est inférieur à 24cm et sa longueur vaut le double de sa largeur.\\
Quelle largeur peut-il avoir ?
\end{exo}
\begin{exo}
Leila s'est inscrite auprès d'un club nautique pour louer du matériel pendant un an afin de faire des sorties en rivière. L'inscription lui a coûté 22\euro{} et la location d'un kayak lui revient 2,80\euro{} par heure. Leila a un budget de 120\euro{} pour l'année.\\
Quel nombre d'heures peut-elle prévoir pour ses sorties ?
\end{exo}
\begin{exo}
Un transporteur de fond doit transférer 512 lingots d'or pesant chacun \\ 12 kg.\\
Un camion de transport blindé pèse 3,6 tonnes et son poids total en charge ne peut pas dépasser 5 tonnes.
\begin{enumerate}
\item Combien de lingots un camion peut-il transporter au maximum en un seul voyage ?
\item Par sécurité, le transporteur décide de ne convoyer que 90 lingots par voyage.\\
Combien de voyages faut-il prévoir au minimum pour transporter tout cet or ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
On considère les expressions $A=50x+10$ et $B=25x-115$ pour tout nombre réel $x$.\\ Comparer les expressions de $A$ et $B$ suivant les valeurs de $x$.
\end{exo}
\section{Systèmes}
\subsection{Définitions}
\begin{definition}
Un \textbf{système linéaire} de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ est un système qui peut s'écrire sous la forme:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by&=&c \\
a'x+b'y&=&c'
\end{array}
\right.
\]
où $a,b,a',b'$ et $c'$ sont des nombres réels fixés avec $(a,b)\neq (0,0)$ et \\ 
$(a',b') \neq (0,0)$. \\
Une solution de ce système est un \textbf{couple} $(x,y)$ de nombres réels tel que $x$ et $y$ vérifient simultanément les deux équations.\\
Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues, c'est déterminer tous les couples $(x,y)$ solutions de ce système.
\end{definition}
\newpage 
\begin{exemple}
Soit le système:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
x+5y&=&19 \\
-2x+y&=&-5
\end{array}
\right.
\]
$\bullet$ Le couple $(4,3)$ est solution car il vérifie les deux équations en même temps. En effet, $4+5 \times 3=19$ et $-2\times 4+3=-5$.\\
$\bullet$ Le couple $(9,2)$ n'est pas solution car il ne vérifie que la première équation et pas la seconde.
\end{exemple}
\subsection{Interprétation graphique d'un couple solution}
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut s'écrire:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by-c&=&0 \\
a'x+b'y-c'&=&0
\end{array}
\right.
\]
Du fait que, $(a,b) \neq (0,0)$ et $(a',b') \neq (0,0)$, ces deux équations correspondent à des équations cartésiennes de deux droites $d$ et $d'$.
\\ Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si:
\[
ab'-a'b \neq 0.
\]
Dans ce cas, elles ont un unique point d'intersection.
\begin{prop}
On considère le système linéaire:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
ax+by&=&c \\
a'x+b'y&=&c'
\end{array}
\right.
\]
avec $(a,b)\neq (0,0)$ et $(a',b')\neq (0,0)$.\\
Ce système admet un \textbf{unique couple solution} si et seulement si on a:
\[
ab'-a'b \neq 0
\]
Ce couple $(x,y)$ correspond aux coordonnées du \textbf{point d'intersection} des deux droites associées aux équations du système.
\end{prop}
\begin{exo}
Soit le système:
\[
\left\{
\begin{array}{r c l}
5x-y&=&11 \\
12x-4y&=&15
\end{array}
\right.
\]
Ce système admet-il une unique solution ?
\end{exo}
\newpage 
\subsection{Méthodes de résolution}
\begin{methode}
\textbf{Méthode par substitution} 
\vspace*{0.5cm} 


Cette méthode consiste à exprimer une variable en fonction de l'autre dans l'une des deux équations, puis à substituer cette valeur dans la seconde équation: la nouvelle équation obtenue est alors une équation à une inconnue.
\begin{exemple}
Résolvons le système 
\begin{equation} \tag{S}
\left\{
\begin{array}{r c l}
3x-y&=&5 \\
2x+3y&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation}
La première équation permet d'exprimer facilement $y$ en fonction $x$. Le système (S) est donc équivalent à
\begin{equation*} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\color{red}y &=& 3x-5 \\
2x+3y&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On substitue l'expression de $y$ dans la deuxième équation, et le système (S) équivaut à
\begin{equation*} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
\color{red}y &=& 3x-5 \\
2x+3\times (3x-5)&=&7
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On résout alors la deuxième équation où ne figure que l'inconnue $x$: \\ $2x+3\times (3x-5)=7$, ce qui équivaut à $2x+9x-15=7$, soit à $11x=22$, soit à $x=2$.\\
On remplace $x$ par sa valeur dans l'expression de $y$; on obtient: \\ $y=3\times 2-5=1$.\\
Le système (S) admet donc pour unique solution le couple $(2,1)$.\\
On peut vérifier, en remplaçant $x$ et $y$ par les valeurs trouvées, que les égalités $3 \times 2-1=5$ et $2\times 2+3\times 1=7$ sont vraies.
\end{exemple}
\end{methode}
\newpage
\begin{methode}
\textbf{Méthode par combinaison linéaire} 
\vspace*{0.5cm} 

Cette méthode consiste à multiplier chaque équation par des coefficients bien choisis afin qu'une addition ou une soustraction des deux équations membre à membre permette l'élimination d'une inconnue.
\begin{exemple}
Résolvons le système 
\begin{equation} \tag{S}
\left\{
\begin{array}{r c l}
2x-5y&=&1 \\
3x+2y&=&11
\end{array}
\right.
\end{equation}
On multiplie la première équation par 2 et la seconde par 5. Le système (S) équivaut à 
\begin{equation*} 
\left\{
\begin{array}{r c l}
4x-10y&=&2 \\
15x+10y&=&55
\end{array}
\right.
\end{equation*}
On additionne les deux équations membre à membre pour éliminer y.\\
On obtient $4x-10y+(15x+10y)=2+55$, soit $19x=57$, soit $x=3$.
On remplace $x$ par sa valeur dans la première équation. On obtient $2\times 3-5y=1$, soit $6-1=5y$, soit $y=1$.\\
Le système (S) admet donc pour unique solution le couple $(3,1)$.
\end{exemple}
\end{methode}
\begin{exo}
Résoudre, par la méthode la plus adaptée, chacun des systèmes:
    \[
     \left\lbrace
           \begin{array}{l}
              x-3y=-1\\
              -3x+4y =-2\\
           \end{array}
     \right.
    \qquad \mbox{et} \qquad
    \left\lbrace
        \begin{array}{l} 
        3x+5y=-6\\
        7x+3y =12\\
        \end{array}
        \right.
    \]

\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre les systèmes suivants avec la méthode par substitution
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
x-3y&=&8\\
2x+5y&=&5
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
3x+4y&=&10\\
5x+y&=&-6
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
8x+11y&=&111\\
14x-9y&=&33
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
0,2x+0,7y&=&0,5\\
x+2y&=&1,6
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Résoudre les systèmes suivants avec la méthode par combinaison linéaire
\begin{enumerate}[label=$\alph*.$]
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
3x+5y&=&31\\
5x+4y&=&43
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
8x-5y&=&-6\\
4x+2y&=&24
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
7x+4y&=&1\\
3x+5y&=&7
\end{array}
\right.
$
\item $\left\{
\begin{array}{r c l}
-3x+4y&=&56\\
2x+4y&=&36
\end{array}
\right.
$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage 
\begin{exo}
Sophia a travaillé durant l'été pendant 45 jours dans deux entreprises. Dans la première, elle a gagné 85\euro{} par jour et dans la deuxième, 72\euro{} par jour. Au total, elle a gagné 3487\euro{}.\\
Combien de jours a-t-elle travaillé dans chaque entreprise ?
\end{exo}
\begin{exo}
Eva achète quatre croissants et une baguette pour 4,70\euro{} et Igor achète cinq croissants et quatre baguettes pour 8,90\euro{}. On note $x$ le prix d'un croissant et $y$ le prix d'une baguette.
\begin{enumerate}
\item Écrire un système de deux équations à deux inconnues traduisant les données de l'énoncé.
\item Quel est le prix d'un croissant ? D'une baguette ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Au restaurant, la famille Alister a payé 112\euro{} pour trois menus "adulte" et un menu "enfant". La famille Lambert a payé 94\euro{} pour deux menus "adulte" et deux menus "enfant". 
\begin{enumerate}
\item En appelant $x$ le prix d'un menu "adulte" et $y$ le prix d'un menu "enfant", écrire un système d'équations qui permet de trouver le prix de chacun des menus.
\item Résoudre le système.
\item Donner le prix du menu "adulte" et celui du menu "enfant".
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}

Merci de votre aide !

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Après réflexion il semblerait qu'il y est un problème avec tikz aussi:
File `Tkz-Tab.sty' not found. \usepackage

Dernière modification par Sherman (Le 25/04/2020, à 15:12)

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

\usepackage{tkz-tab}

Windows est case insensitive.

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Debian (xfce) 12
HP LaserJet M1132 MFP

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

La distribution installée par Ubuntu est décomposée en plusieurs entités qui ne sont pas nécessairement installées. tkz-tab provient de texlive-pictures. Si ce package n'est pas installé, il faut le faire.

sudo apt install texlive-pictures

En plus, ta déclaration

\usepackage{Tkz-Tab}

ne marchera pas plus sous Windows que sous Ubuntu
Avec

\usepackage{tkz-tab}

ça doit marcher.

Dernière modification par gigiair (Le 25/04/2020, à 15:56)

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JJR.

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

La distribution installée par Ubuntu est décomposée en plusieurs entités qui ne sont pas nécessairement installées. tkz-tab provient de texlive-pictures. Si ce package n'est pas installé, il faut le faire.

sudo apt install texlive-pictures

En plus, ta déclaration

\usepackage{Tkz-Tab}

ne marchera pas plus sous Windows que sous Ubuntu
Avec

\usepackage{tkz-tab}

ça doit marcher.

Ok maintenant le problème c'est le package "thmbox.sty"

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

La distribution installée par Ubuntu est décomposée en plusieurs entités qui ne sont pas nécessairement installées. tkz-tab provient de texlive-pictures. Si ce package n'est pas installé, il faut le faire.

sudo apt install texlive-pictures

En plus, ta déclaration

\usepackage{Tkz-Tab}

ne marchera pas plus sous Windows que sous Ubuntu
Avec

\usepackage{tkz-tab}

ça doit marcher.

Ok maintenant le problème c'est le package "thmbox.sty"

Et là pour le coup je sais que j'ai aucun problème avec Windows.

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

C'est pas une question de Windows ou de Ubuntu. TeXLive consomme une quantité énorme de ressources et elles ne sont pas toutes utiles à tout le monde. Est-il pour toi nécessaire d'installer le code pour traiter le langage utilisé en Thailande ?
thombox.sty vient de texlive-latex-extra

sudo install texlive-latex-extra

Chez moi, il me faut bien une bonne heure de téléchargement pour charger tous les packages de texlive, et c'est à renouveler à chaque mise à jour. Ça vaut le coup de n'installer que ce qui est nécessaire.

Dernière modification par gigiair (Le 25/04/2020, à 16:59)

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JJR.

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

C'est pas une question de Windows ou de Ubuntu. TeXLive consomme une quantité énorme de ressources et elles ne sont pas toutes utiles à tout le monde. Est-il pour toi nécessaire d'installer le code pour traiter le langage utilisé en Thailande ?
thombox.sty vient de texlive-latex-extra

sudo install texlive-latex-extra

Chez moi, il me faut bien une bonne heure de téléchargement pour charger tous les packages de texlive, et c'est à renouveler à chaque mise à jour. Ça vaut le coup de n'installer que ce qui est nécessaire.

Ta commande m'indique "install: opérande de fichier cible manquant après 'texlive-latex-ex"

J'ai mis

sudo apt-get install texlive-latex-extra

et il me répond Lecture des listes de paquets... Fait
Construction de l'arbre des dépendances       
Lecture des informations d'état... Fait
texlive-latex-extra est déjà la version la plus récente (2019.202000218-1).
0 mis à jour, 0 nouvellement installés, 0 à enlever et 0 non mis à jour.

Dernière modification par Sherman (Le 25/04/2020, à 17:08)

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

C'est pas une question de Windows ou de Ubuntu. TeXLive consomme une quantité énorme de ressources et elles ne sont pas toutes utiles à tout le monde. Est-il pour toi nécessaire d'installer le code pour traiter le langage utilisé en Thailande ?
thombox.sty vient de texlive-latex-extra

sudo install texlive-latex-extra

Chez moi, il me faut bien une bonne heure de téléchargement pour charger tous les packages de texlive, et c'est à renouveler à chaque mise à jour. Ça vaut le coup de n'installer que ce qui est nécessaire.

Ta commande m'indique "install: opérande de fichier cible manquant après 'texlive-latex-ex"

Au temps pour moi, j'ai oublié un mot

sudo apt install texlive-latex-extra

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JJR.

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

sudo apt install texlive-science

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Debian (xfce) 12
HP LaserJet M1132 MFP

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

C'est curieux, un bug ?

dpkg -S thmtools.sty
texlive-latex-extra: /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thmtools.sty

Dernière modification par gigiair (Le 25/04/2020, à 17:47)

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JJR.

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

$ dpkg -S thmbox.sty
texlive-latex-extra: /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/thmtools/thmdef-thmbox.sty
texlive-science: /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/thmbox/thmbox.sty

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Debian (xfce) 12
HP LaserJet M1132 MFP

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Au temps pour moi j'ai cherché pour thmtools au lieu de thmbox. Décidément, c'est pas mon jour. Je devrais aller me coucher.

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JJR.

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Super ! Ca marche sans problème sur ce fichier.

Maintenant c'est le package "mathabx.sty" qui pose souci sur ce programme là:

\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{color}
\usepackage{multicol}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{mathabx}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{tikz}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{tkz-tab}
\usepackage[theorems]{tcolorbox} % Encadrés


\declaretheorem[thmbox=M,name=Théorème]{theo}
\declaretheorem[thmbox=M,name={\color{red} Définition}]{definition}
\declaretheorem[thmbox=S,name={ Exemple}]{exemple}
\declaretheorem[thmbox=S,name={ Remarque}]{rema}
\declaretheorem[thmbox=S,name={ Conséquence}]{csq}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Démonstration]{demo}
\declaretheorem[thmbox=S,name={\color{red} \Large \textbf{Attention}}]{att}
\declaretheorem[thmbox=M,name=\color{red} Propriété]{prop}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Corollaire]{cor}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Exercice]{exo}
\declaretheorem[thmbox=S,name= Méthode]{methode}
\declaretheorem[thmbox=S,name=Rappel]{rappel}
\declaretheorem[thmbox=S,name={Cas particuliers}]{cp}
\newtcbtheorem{defi}{Définition }{
    theorem name,
    colframe=green!25!black,
}{lem}
\renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection})}

\title{\itshape \Huge Chapitre 7 
\bigskip 
\\
\vspace*{0.5cm}   Les fonctions affines}
\date{}
\author{}
\begin{document}
\maketitle
\renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
\tableofcontents
\newpage
\section{Caractérisation des fonctions affines}
\subsection{Définition et propriété}
\begin{definition}
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est dite \textbf{affine} lorsqu'il existe deux réels $m$ et $p$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=mx+p$.
\end{definition}
\begin{cp}
Si $f$ est une fonction affine telle que:
\begin{enumerate}
\item[•] $m=0$, alors la fonction $f$ est une fonction \textbf{constante}.
\item[•] $p=0$, alors la fonction $f$ est une fonction \textbf{linéaire}.
\end{enumerate}
\end{cp}
\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item[•] La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x-5$ est une fonction affine avec $m=3$ et $p=-5$.
\item[•] La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-2x$ est une fonction linéaire (donc affine) avec $m=-2$ et $p=0$.
\end{enumerate}
\end{exemple}
\begin{prop}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$.
\\
$f$ est une fonction affine si, et seulement si, pour tous réels distincts $a$ et $b$, le rapport $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est constant.
\end{prop}
\begin{demo}
\vspace*{6cm}
\end{demo}
\begin{rema}
Le nombre $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est le \textbf{taux d'accroissement} de $f$ entre $a$ et $b$.
\\
\textbf{Une fonction n'est pas affine lorsque le taux d'accroissement n'est pas constant}.
\end{rema}
\begin{exo}
Parmi les fonctions suivantes, dire celles qui sont des fonctions affines et donner alors $m$ et $p$.
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x+1$.
\item $g(x)=x^{2}-1$.
\item $h(x)=\frac{1-2x}{3}$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{csq}
Soient $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$ et $a$ et $b$ deux réels distincts.
\\
Alors, $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et $p=f(a)-ma$.
\end{csq}
\begin{rema}
\begin{enumerate}
\item[•] $p=f(0)$, $p$ est l'image de $0$ par la fonction $f$.
\item[•] Si $a=0$ et $b=1$, alors $m=f(1)-f(0)$.
\end{enumerate}
\end{rema}
\begin{exemple}
$f$ est une fonction affine telle que $f(-1)=-4$ et $f(3)=8$.
\\
Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
\vspace*{3cm}
\end{exemple}
\begin{exo}
Dans chaque cas, déterminer l'expression de la fonction affine $f$ vérifiant les conditions données.
\begin{enumerate}
\item $f(-3)=4$ et $f(5)=8$.
\item $f(-3)=-2$ et $f(-5)=-2$.
\item $f(-5)=3$ et $f(0)=0$.
\end{enumerate}
\end{exo}
\subsection{Représentation graphique}
\begin{prop}
\end{prop}
\begin{demo}
\end{demo}
\begin{cp}
\end{cp}
\begin{definition}
\end{definition}
\begin{rema}
\end{rema}
\section{Étude d'une fonction affine}
\subsection{Variations d'une fonction affine}
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.
\begin{prop}
\begin{enumerate}
\item[•] Si $m>0$, alors $f$ est une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
\item[•] Si $m<0$, alors $f$ est une fonction strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{rema}
Si $m=0$, alors $f$ est une fonction constante.
\end{rema}
\begin{demo}
\vspace*{6cm}
\end{demo}
\newpage 
\begin{exemple}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x+3$.

Quel est le sens de variation de la fonction affine $f$ ?

Tracer sa courbe représentative.
\item Peut-on comparer sans calcul les nombres $-\sqrt{2}+3$ et $-\sqrt{3}+3$ ?
\end{enumerate}
\vspace*{7cm}
\end{exemple}

\begin{exo}
Déterminer le sens de variation des fonctions affines définies par les expressions suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item $f(x)=2x+3$
\item $f(x)=x+7$
\item $f(x)=\sqrt{3}(x-2)$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
\item  $f(x)=-4x+5$
\item $f(x)=8-x$
\item $f(x)=\frac{3-2x}{7}$
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item La fonction affine $f$ vérifie $f(2)=5$ et $f(6)=3$.

$f$ est-elle croissante ou décroissante ?
\item La fonction affine $g$ vérifie $g(-1)=3$ et $g(2)=6$.

$g$ est-elle croissante ou décroissante ?
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
Soit $g$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\frac{13}{6}x-\frac{2}{9}$.
\begin{enumerate}
\item Comparer $g\left(-\frac{2}{3}\right)$ et $g\left(-\frac{7}{4}\right)$ en utilisant les variations de $g$.
\item Comparer $g\left(-\frac{2}{3}\right)$ et $g\left(-\frac{7}{4}\right)$ à l'aide d'une chaîne logique.
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage 
\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Soient $a\in \left[-3;-2\right]$ et $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$

 par $f(x)=-4x-5$. Déterminer un encadrement de $f(a)$. 
\item Soient $b\in \left[-1;2\right]$ et $g$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ 

par $g(x)=2x+3$. Déterminer un encadrement de $g(b)$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une impaire si, et seulement si, $f$ est une fonction linéaire.
\item Montrer que $f$ est une paire si, et seulement si, $f$ est une fonction constante.
\end{enumerate}
\end{exo}
\subsection{Signes d'une fonction}
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=mx+p$, avec $m \ne 0$.
\begin{definition}
On appelle \textbf{racine} de $f$ le réel $x_{0}$ tel que $f(x_{0})=0$.
\\
Le point de coordonnées $\left(x_{0};0\right)$ est le point d'intersection de la courbe représentative de $f$ avec l'axe des abscisses.
\end{definition}
%\newpage
\begin{prop}

\begin{enumerate}
\item[•] Si $\mathbf{m>0}$, on sait que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Si $x<x_{0}$, alors $f(x)<f(x_{0})$.

Si $x>x_{0}$, alors $f(x)>f(x_{0})$.
\end{enumerate}
\vspace*{0.2cm}
On résume cela dans un tableau de signes.

\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
   \tkzTabInit[lgt = 4, espcl = 3, deltacl = 0.7]{$x$ / 1 , Signe de \\ $f(x)$ / 1}{$-\infty$, $x_{0}$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{,-, z, +,}
\end{tikzpicture}

\begin{enumerate}
\item[•] Si $\mathbf{m<0}$, on sait que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Si $x<x_{0}$, alors $f(x)>f(x_{0})$.

Si $x>x_{0}$, alors $f(x)<f(x_{0})$.
\end{enumerate}
\vspace*{0.2cm}
On résume cela dans un tableau de signes.


\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
   \tkzTabInit[lgt = 4, espcl = 3, deltacl = 0.7]{$x$ / 1 , Signe de \\ $f(x)$ / 1}{$-\infty$, $x_{0}$, $+\infty$}
   \tkzTabLine{,+, z, -,}
\end{tikzpicture}
\end{prop}
%\newpage
\begin{demo}
\vspace*{7.5cm}
\end{demo}
\begin{exemple}
Déterminer le tableau de signes des fonctions affines définies par:
\begin{enumerate}
\item[•] $f(x)=\frac{1}{2}x-5$
\item[•] $g(x)=-2x+6$
\end{enumerate}
\end{exemple}

\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tableau de signes des fonctions affines définies ci-dessous:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x+3$
\item $h(x)=x+7$
\item $g(x)=-4x+5$
\item $j(x)=8-x$
\end{enumerate}
\item Pour chacune des fonctions précédentes, donner un nombre réel $x_{1}$ dont l'image est positive et un nombre réel $x_{2}$ dont l'image est négative.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Déterminer le tableau de signes des fonctions affines définies ci-dessous:

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x-3$
\item $h(x)=-2x+\frac{1}{2}$
\item $g(x)=4-5x$
\item $j(x)=\frac{x\sqrt{3}+1}{-2}$
\end{enumerate}

\end{exo}
\newpage
\begin{exo}
Soient $p$ et $q$ deux fonctions affines définies sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=10-6x$ et $q(x)=-8x+2$.
\begin{enumerate}
\item Donner la tableau de signes de chacune de ces fonctions sur $\mathbb{R}$.
\item Déterminer l'expression algébrique de la fonction $d$ définie pour tout réel $x$ par $d(x)=p(x)-q(x)$.
\item En déduire le tableau de signes de $d$ sur $\mathbb{R}$.
\item Que peut-on en déduire sur les positions relatives des courbes représentatives de $p$ et de $q$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Une entreprise vend des magnets à 3\euro{} pièce. Le résultat en euros de l'entreprise est donné par la fonction affine d'expression $f(x)=3x-2700$, où $x$ est le nombre de magnets vendus.
\begin{enumerate}
\item Interpréter le nombre $f(0)$.
\item Écrire le tableau de signes de la fonction $f$, et en déduire le nombre minimum de magnets que doit vendre l'entreprise pour que son résultat soit positif.
\end{enumerate}
\end{exo}
\begin{exo}
La mesure de la température peut s'effectuer dans plusieurs unités. En France, on utilise le degré Celsius ($^{\circ}$C). Aux États-Unis, on utilise le degré Fahrenheit ($^{\circ}$F).

Pour obtenir en degrés Fahrenheit une température mesure en degré Celsius, on multiple par 1,8 et on ajoute 32.
\begin{enumerate}
\item On note $x$ une mesure en degrés Celsius. Quelle est l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$ de cette mesure en degrés Fahrenheit ?
\item Quelle est la mesure en $^{\circ}$F de l'eau gelée ?
\item A quelle température en $^{\circ}$C correspondent 230$^{\circ}$F ?
\item A partir de quelle température mesurée en $^{\circ}$C a-t-on $f(x)>0$ ?
\end{enumerate}
\end{exo}
%\newpage
\section{Applications: inéquations produit et inéquations quotient}
\begin{methode}
Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de deux fonctions affines, on étudiera le signe de chacune des fonctions dans un même tableau de signes et on conclura à l'aide de la propriété des signes d'un produit ou d'un quotient.
\end{methode}
\newpage
\begin{exemple}
Résoudre l'inéquation $(3x+2)(-2x-1)\leq 0$.
\vspace*{6cm}
\end{exemple}
\begin{exemple}
Résoudre l'inéquation $\frac{5-x}{x+1}\geq 0$.
\vspace*{6cm}
\end{exemple}
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes:
\begin{enumerate}
\item $\left(-2x+1\right)\left(6x+5\right)>0$
\item $\left(2-3x\right)\left(4x-1\right)\leq 0$
\item $\left(\frac{1}{2}x+3\right)\left(\frac{-2}{3}x-\frac{1}{2}\right)< 0$
\item $\left(5x-3\right)\left(2x+1\right)> \left(2x+1\right)\left(x-4\right)$
\item $\left(3x+2\right)\left(-6x-1\right)\geq \left(3x+2\right)^{2}$
\item $\left(2x-1\right)\left(-5x+7\right)< 4x^{2}-4x+1$
\end{enumerate}
\end{exo}
\newpage
\begin{exo}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes en faisant attention aux ensembles de définition:
\begin{enumerate}
\item $\frac{x+2}{-x+6}<0$
\item $\frac{3x-4}{2x+3}\geq 0$
\item $\frac{\frac{1}{2}x-7}{8x+\frac{1}{3}} \leq 0$
\item $\frac{x-4}{x+8}> -1$
\item $\frac{x}{2x-10}\geq 2$
\item $\frac{1-4x}{x-3}< -4$
\end{enumerate}
\end{exo}
\hrule
\begin{center}
\color{red} \textbf{Exercice de synthèse}\color{black}
\end{center}
On considère la fonction affine $f$ dont on connaît l'image de deux nombres réels:
\[f(1)=1\mbox{ et }f(5)=-7.
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ on a:
\[f(x)=-2x+3\]
\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en justifiant.
\item Tracer la courbe de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.
\item Résoudre graphiquement l'inéquation:
\[f(x)>2\].
\item Résoudre algébrique l'inéquation:
\[f(x)>\sqrt{3}\].
\item Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ en justifiant.
\end{enumerate}
\end{document}

J'ai l'impression que c'est un problème sans fin

PS: pareil aucun soucis avec mathabx sur Windows

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Tu as le droit de chercher par toi même :

$ dpkg -S mathabx.sty
texlive-fonts-extra: /usr/share/texlive/texmf-dist/tex/generic/mathabx/mathabx.sty

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Debian (xfce) 12
HP LaserJet M1132 MFP

gl38

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Sous windows tu utilisais un logiciel qui ajoutait tout un tas de paquets plus ou moins superflus, à mon avis.
Tout ça prouve au passage que ton texte n'est pas portable, ce qui complique un travail collaboratif.
As-tu vraiment besoin de tous ces raffinements ?
Quand on pense au nombre de lecteurs qu'on peut avoir !
J'ai vu des directeurs de thèse qui n'avaient pas lu la thèse de leur élève avant la soutenance, pas plus que les rapporteurs d'ailleurs.
En plus si on veut publier il faut passer sous les fourches caudines des styles de l'éditeur et il faudra tout refaire.
Bon courage.
Cordialement,
Guy

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Sous windows tu utilisais un logiciel qui ajoutait tout un tas de paquets plus ou moins superflus, à mon avis.
Tout ça prouve au passage que ton texte n'est pas portable, ce qui complique un travail collaboratif.
As-tu vraiment besoin de tous ces raffinements ?
Quand on pense au nombre de lecteurs qu'on peut avoir !
J'ai vu des directeurs de thèse qui n'avaient pas lu la thèse de leur élève avant la soutenance, pas plus que les rapporteurs d'ailleurs.
En plus si on veut publier il faut passer sous les fourches caudines des styles de l'éditeur et il faudra tout refaire.
Bon courage.
Cordialement,
Guy

Je suis prof (de maths je crois que ceux qui ont essayé de compiler mon code ont compris), je suis le seul à avoir ce code (même si je le reprends de quelqu'un), mes élèves auront le résultat final

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Sinon tu peux installer la totale (c'est plutôt gros) :

sudo apt install texlive-full

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HP LaserJet M1132 MFP

gigiair

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Comme ça il n'y aura pas de message d'erreur quand il compilera un document en langue utilisée en Thaïlande, en chinois ou en hébreu, tout comme comme sous Windows.

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JJR.

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Comme ça il n'y aura pas de message d'erreur quand il compilera un document en langue utilisée en Thaïlande, en chinois ou en hébreu, tout comme comme sous Windows.

Latex est mon outil de travail, si jamais je n'arrive pas à compiler mes documents je suis (j'étais obligé) de repasser sous Windows

Sciensous

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

pour résumer le problème de sherman (si j'ai bien compris), c'est comme avoir m équations à n inconnus avec n<m et les m-n restants étant définis (sou win mais pas ubuntu) mais inutiles car non utilisés dans les n équations utiles.
avec m-n>2

Dernière modification par Sciensous (Le 26/05/2020, à 12:00)

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antiX 19 et 21 et Ubuntu 20.04 et 22.04
( sous LXDE et gnome-shell )

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Finalement tu arrives à compiler ton fichier ?

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Debian (xfce) 12
HP LaserJet M1132 MFP

Sherman

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

Finalement tu arrives à compiler ton fichier ?

Oui ta commande m'a beaucoup aidé ! Merci !

Sciensous

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

alors ce serait bien que tu mettes résolu dans le titre en éditant ton premier message
merci

NB: c'est quand même utiliser un bazooka pour écraser une mouche

Dernière modification par Sciensous (Le 27/05/2020, à 15:33)

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( sous LXDE et gnome-shell )

grigouille

Re : Problème Latex: passage de Windows à Ubuntu

J'ai aussi installé texlive-full au début en venant de MikTex pour ne pas me casser la tête.

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